Страница 116 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

654. Какое из данных равенств является тождеством:

1) $-49 + b^2 = (7 - b)(7 + b);$

2) $-49 + b^2 = (b - 7)(b + 7);$

3) $-49 + b^2 = (7 - b)^2;$

4) $-49 + b^2 = (b - 49)(b + 49)?$

Тождество — это равенство, которое выполняется при любых значениях входящих в него переменных. Чтобы найти тождество среди предложенных равенств, мы преобразуем левую часть, а затем будем сравнивать ее с правой частью каждого варианта.

Левая часть всех равенств: $-49 + b^2$.

Используя переместительный закон сложения, мы можем переписать это выражение как $b^2 - 49$.

Данное выражение является разностью квадратов, поскольку $49$ это $7^2$. Формула разности квадратов выглядит так: $a^2 - c^2 = (a - c)(a + c)$.

Применяя эту формулу к нашему выражению, получаем: $b^2 - 49 = b^2 - 7^2 = (b - 7)(b + 7)$.

Теперь проверим каждый из предложенных вариантов.

1) $-49 + b^2 = (7 - b)(7 + b)$

Преобразуем правую часть, используя формулу разности квадратов:

$(7 - b)(7 + b) = 7^2 - b^2 = 49 - b^2$.

Сравниваем левую и правую части: $b^2 - 49 = 49 - b^2$. Это равенство неверно. Например, при $b=0$, мы получаем $-49 = 49$, что является ложью.

Ответ: не является тождеством.

2) $-49 + b^2 = (b - 7)(b + 7)$

Преобразуем правую часть по формуле разности квадратов:

$(b - 7)(b + 7) = b^2 - 7^2 = b^2 - 49$.

Сравниваем левую и правую части: $b^2 - 49 = b^2 - 49$. Левая часть полностью совпадает с правой. Это равенство верно для любого значения $b$.

Ответ: является тождеством.

3) $-49 + b^2 = (7 - b)^2$

Преобразуем правую часть, используя формулу квадрата разности: $(a - c)^2 = a^2 - 2ac + c^2$.

$(7 - b)^2 = 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot b + b^2 = 49 - 14b + b^2$.

Сравниваем левую и правую части: $b^2 - 49 = 49 - 14b + b^2$. Это равенство неверно. Например, при $b=1$, мы получаем $1 - 49 = 49 - 14 + 1$, то есть $-48 = 36$, что является ложью.

Ответ: не является тождеством.

4) $-49 + b^2 = (b - 49)(b + 49)$

Преобразуем правую часть по формуле разности квадратов:

$(b - 49)(b + 49) = b^2 - 49^2 = b^2 - 2401$.

Сравниваем левую и правую части: $b^2 - 49 = b^2 - 2401$. Это равенство неверно, так как $-49 \neq -2401$.

Ответ: не является тождеством.

655. Можно ли, применяя формулу разности квадратов, разложить на множители выражение:

1) $a^2 - 9$;

2) $b^2 + 1$;

3) $4 - c^2$;

4) $25 + x^2$;

5) $1 - y^2$;

6) $16a^2 - b^2$;

7) $81 + 100p^2$;

8) $81 - 100p^2$;

9) $m^2n^2 - 25$;

10) $-m^2n^2 - 25$?

Если можно, то выполните разложение на множители.

Формула разности квадратов имеет вид $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. Для её применения необходимо, чтобы выражение представляло собой разность двух слагаемых, каждое из которых является полным квадратом.

1) $a^2 - 9$

Да, можно. Данное выражение является разностью квадратов, так как $a^2$ — это квадрат $a$, а $9$ — это квадрат $3$.

Применяем формулу: $a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a - 3)(a + 3)$.

Ответ: $(a - 3)(a + 3)$.

2) $b^2 + 1$

Нет, нельзя. Это выражение является суммой квадратов ($b^2$ и $1^2$), а не разностью. Формула разности квадратов здесь неприменима.

Ответ: Нельзя.

3) $4 - c^2$

Да, можно. Это разность квадратов, так как $4 = 2^2$ и $c^2 = (c)^2$.

Применяем формулу: $4 - c^2 = 2^2 - c^2 = (2 - c)(2 + c)$.

Ответ: $(2 - c)(2 + c)$.

4) $25 + x^2$

Нет, нельзя. Это выражение является суммой квадратов ($5^2$ и $x^2$), а формула применяется только к разности.

Ответ: Нельзя.

5) $1 - y^2$

Да, можно. Это разность квадратов, так как $1 = 1^2$ и $y^2 = (y)^2$.

Применяем формулу: $1 - y^2 = 1^2 - y^2 = (1 - y)(1 + y)$.

Ответ: $(1 - y)(1 + y)$.

6) $16a^2 - b^2$

Да, можно. Это разность квадратов, так как $16a^2 = (4a)^2$ и $b^2 = (b)^2$.

Применяем формулу: $16a^2 - b^2 = (4a)^2 - b^2 = (4a - b)(4a + b)$.

Ответ: $(4a - b)(4a + b)$.

7) $81 + 100p^2$

Нет, нельзя. Это выражение является суммой квадратов ($9^2$ и $(10p)^2$), а не разностью.

Ответ: Нельзя.

8) $81 - 100p^2$

Да, можно. Это разность квадратов, так как $81 = 9^2$ и $100p^2 = (10p)^2$.

Применяем формулу: $81 - 100p^2 = 9^2 - (10p)^2 = (9 - 10p)(9 + 10p)$.

Ответ: $(9 - 10p)(9 + 10p)$.

9) $m^2n^2 - 25$

Да, можно. Это разность квадратов, так как $m^2n^2 = (mn)^2$ и $25 = 5^2$.

Применяем формулу: $m^2n^2 - 25 = (mn)^2 - 5^2 = (mn - 5)(mn + 5)$.

Ответ: $(mn - 5)(mn + 5)$.

10) $-m^2n^2 - 25$

Нет, нельзя. Если вынести знак минус за скобки, получим $-(m^2n^2 + 25)$. Выражение в скобках является суммой квадратов, поэтому формула разности квадратов неприменима.

Ответ: Нельзя.

656. Разложите на множители:

1) $b^2 - d^2$;

2) $x^2 - 1$;

3) $-x^2 + 1$;

4) $36 - c^2$;

5) $4 - 25a^2$;

6) $49a^2 - 100$;

7) $900 - 81k^2$;

8) $16x^2 - 121y^2$;

9) $b^2c^2 - 1$;

10) $\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{9}y^2$;

11) $-4a^2b^2 + 25$;

12) $144x^2y^2 - 400$;

13) $a^2b^2c^2 - 1$;

14) $100a^2 - 0,01b^2$;

15) $a^4 - b^2$;

16) $p^2t^2 - 0,36k^2d^2$;

17) $y^{10} - 9$;

18) $4x^{12} - 1\frac{11}{25}y^{16}$.

Все выражения в данном задании представляют собой разность квадратов и раскладываются на множители с помощью формулы: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

1) Выражение $b^2 - d^2$ является разностью квадратов. В данном случае $a = b$ и $b = d$. Применяя формулу, получаем: $b^2 - d^2 = (b - d)(b + d)$.
Ответ: $(b - d)(b + d)$

2) В выражении $x^2 - 1$ представим 1 как $1^2$, чтобы получить $x^2 - 1^2$. Здесь $a = x$ и $b = 1$. По формуле разности квадратов: $x^2 - 1^2 = (x - 1)(x + 1)$.
Ответ: $(x - 1)(x + 1)$

3) Выражение $-x^2 + 1$ можно переписать как $1 - x^2$. Представим 1 как $1^2$, получим $1^2 - x^2$. Здесь $a = 1$ и $b = x$. По формуле: $1^2 - x^2 = (1 - x)(1 + x)$.
Ответ: $(1 - x)(1 + x)$

4) В выражении $36 - c^2$ представим 36 как $6^2$, получим $6^2 - c^2$. Здесь $a = 6$ и $b = c$. По формуле: $6^2 - c^2 = (6 - c)(6 + c)$.
Ответ: $(6 - c)(6 + c)$

5) В выражении $4 - 25a^2$ представим 4 как $2^2$ и $25a^2$ как $(5a)^2$. Получим $2^2 - (5a)^2$. Здесь $a = 2$ и $b = 5a$. По формуле: $2^2 - (5a)^2 = (2 - 5a)(2 + 5a)$.
Ответ: $(2 - 5a)(2 + 5a)$

6) В выражении $49a^2 - 100$ представим $49a^2$ как $(7a)^2$ и 100 как $10^2$. Получим $(7a)^2 - 10^2$. Здесь $a = 7a$ и $b = 10$. По формуле: $(7a)^2 - 10^2 = (7a - 10)(7a + 10)$.
Ответ: $(7a - 10)(7a + 10)$

7) В выражении $900 - 81k^2$ сначала вынесем общий множитель 9 за скобки: $9(100 - 9k^2)$. Теперь разложим выражение в скобках, представив 100 как $10^2$ и $9k^2$ как $(3k)^2$. Получим $10^2 - (3k)^2$. Применяя формулу разности квадратов, где $a = 10$ и $b = 3k$, имеем: $9(10 - 3k)(10 + 3k)$.
Ответ: $9(10 - 3k)(10 + 3k)$

8) В выражении $16x^2 - 121y^2$ представим $16x^2$ как $(4x)^2$ и $121y^2$ как $(11y)^2$. Получим $(4x)^2 - (11y)^2$. Здесь $a = 4x$ и $b = 11y$. По формуле: $(4x)^2 - (11y)^2 = (4x - 11y)(4x + 11y)$.
Ответ: $(4x - 11y)(4x + 11y)$

9) В выражении $b^2c^2 - 1$ представим $b^2c^2$ как $(bc)^2$ и 1 как $1^2$. Получим $(bc)^2 - 1^2$. Здесь $a = bc$ и $b = 1$. По формуле: $(bc)^2 - 1^2 = (bc - 1)(bc + 1)$.
Ответ: $(bc - 1)(bc + 1)$

10) В выражении $\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{9}y^2$ представим $\frac{1}{4}x^2$ как $(\frac{1}{2}x)^2$ и $\frac{1}{9}y^2$ как $(\frac{1}{3}y)^2$. Получим $(\frac{1}{2}x)^2 - (\frac{1}{3}y)^2$. Здесь $a = \frac{1}{2}x$ и $b = \frac{1}{3}y$. По формуле: $(\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y)(\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y)$.
Ответ: $(\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y)(\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y)$

11) Выражение $-4a^2b^2 + 25$ перепишем как $25 - 4a^2b^2$. Представим 25 как $5^2$ и $4a^2b^2$ как $(2ab)^2$. Получим $5^2 - (2ab)^2$. Здесь $a = 5$ и $b = 2ab$. По формуле: $5^2 - (2ab)^2 = (5 - 2ab)(5 + 2ab)$.
Ответ: $(5 - 2ab)(5 + 2ab)$

12) В выражении $144x^2y^2 - 400$ вынесем общий множитель 16: $16(9x^2y^2 - 25)$. Разложим выражение в скобках, представив $9x^2y^2$ как $(3xy)^2$ и 25 как $5^2$. Получим $(3xy)^2 - 5^2$. Применяя формулу, где $a = 3xy$ и $b = 5$, имеем: $16(3xy - 5)(3xy + 5)$.
Ответ: $16(3xy - 5)(3xy + 5)$

13) В выражении $a^2b^2c^2 - 1$ представим $a^2b^2c^2$ как $(abc)^2$ и 1 как $1^2$. Получим $(abc)^2 - 1^2$. Здесь $a = abc$ и $b = 1$. По формуле: $(abc)^2 - 1^2 = (abc - 1)(abc + 1)$.
Ответ: $(abc - 1)(abc + 1)$

14) В выражении $100a^2 - 0,01b^2$ представим $100a^2$ как $(10a)^2$ и $0,01b^2$ как $(0,1b)^2$. Получим $(10a)^2 - (0,1b)^2$. Здесь $a = 10a$ и $b = 0,1b$. По формуле: $(10a - 0,1b)(10a + 0,1b)$.
Ответ: $(10a - 0,1b)(10a + 0,1b)$

15) В выражении $a^4 - b^2$ представим $a^4$ как $(a^2)^2$. Получим $(a^2)^2 - b^2$. Здесь $a = a^2$ и $b = b$. По формуле: $(a^2)^2 - b^2 = (a^2 - b)(a^2 + b)$.
Ответ: $(a^2 - b)(a^2 + b)$

16) В выражении $p^2t^2 - 0,36k^2d^2$ представим $p^2t^2$ как $(pt)^2$ и $0,36k^2d^2$ как $(0,6kd)^2$. Получим $(pt)^2 - (0,6kd)^2$. Здесь $a = pt$ и $b = 0,6kd$. По формуле: $(pt - 0,6kd)(pt + 0,6kd)$.
Ответ: $(pt - 0,6kd)(pt + 0,6kd)$

17) В выражении $y^{10} - 9$ представим $y^{10}$ как $(y^5)^2$ и 9 как $3^2$. Получим $(y^5)^2 - 3^2$. Здесь $a = y^5$ и $b = 3$. По формуле: $(y^5)^2 - 3^2 = (y^5 - 3)(y^5 + 3)$.
Ответ: $(y^5 - 3)(y^5 + 3)$

18) В выражении $4x^{12} - 1\frac{11}{25}y^{16}$ преобразуем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{11}{25} = \frac{36}{25}$. Выражение примет вид $4x^{12} - \frac{36}{25}y^{16}$. Представим $4x^{12}$ как $(2x^6)^2$ и $\frac{36}{25}y^{16}$ как $(\frac{6}{5}y^8)^2$. Получим $(2x^6)^2 - (\frac{6}{5}y^8)^2$. Здесь $a = 2x^6$ и $b = \frac{6}{5}y^8$. По формуле: $(2x^6 - \frac{6}{5}y^8)(2x^6 + \frac{6}{5}y^8)$.
Ответ: $(2x^6 - \frac{6}{5}y^8)(2x^6 + \frac{6}{5}y^8)$

657. Разложите на множители:

1) $16 - b^2$;

2) $c^2 - 49$;

3) $0,04 - a^2$;

4) $x^2 - \frac{4}{9}$;

5) $4x^2 - 25$;

6) $81c^2 - 64d^2$;

7) $0,09x^2 - 0,25y^2$;

8) $a^2b^4 - c^6d^8$;

9) $4a^2c^2 - 9x^2y^2$;

10) $x^{24} - y^{22}$;

11) $-1600 + a^{12}$;

12) $a^{18} - \frac{49}{64}$.

Все представленные выражения являются разностью квадратов, для разложения которой на множители используется формула: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

1) Исходное выражение: $16 - b^2$.
Представим 16 в виде квадрата числа: $16 = 4^2$.
Теперь выражение имеет вид $4^2 - b^2$.
Применив формулу разности квадратов, где $a=4$ и $b=b$, получаем: $4^2 - b^2 = (4-b)(4+b)$.
Ответ: $(4-b)(4+b)$

2) Исходное выражение: $c^2 - 49$.
Представим 49 в виде квадрата числа: $49 = 7^2$.
Выражение принимает вид $c^2 - 7^2$.
Применив формулу, где $a=c$ и $b=7$, получаем: $c^2 - 7^2 = (c-7)(c+7)$.
Ответ: $(c-7)(c+7)$

3) Исходное выражение: $0,04 - a^2$.
Представим 0,04 в виде квадрата числа: $0,04 = (0,2)^2$.
Выражение принимает вид $(0,2)^2 - a^2$.
Применив формулу, где $a=0,2$ и $b=a$, получаем: $(0,2)^2 - a^2 = (0,2-a)(0,2+a)$.
Ответ: $(0,2-a)(0,2+a)$

4) Исходное выражение: $x^2 - \frac{4}{9}$.
Представим дробь $\frac{4}{9}$ в виде квадрата: $\frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^2$.
Выражение принимает вид $x^2 - (\frac{2}{3})^2$.
Применив формулу, где $a=x$ и $b=\frac{2}{3}$, получаем: $x^2 - (\frac{2}{3})^2 = (x-\frac{2}{3})(x+\frac{2}{3})$.
Ответ: $(x-\frac{2}{3})(x+\frac{2}{3})$

5) Исходное выражение: $4x^2 - 25$.
Представим каждый член выражения в виде квадрата: $4x^2 = (2x)^2$ и $25 = 5^2$.
Выражение принимает вид $(2x)^2 - 5^2$.
Применив формулу, где $a=2x$ и $b=5$, получаем: $(2x)^2 - 5^2 = (2x-5)(2x+5)$.
Ответ: $(2x-5)(2x+5)$

6) Исходное выражение: $81c^2 - 64d^2$.
Представим каждый член выражения в виде квадрата: $81c^2 = (9c)^2$ и $64d^2 = (8d)^2$.
Выражение принимает вид $(9c)^2 - (8d)^2$.
Применив формулу, где $a=9c$ и $b=8d$, получаем: $(9c)^2 - (8d)^2 = (9c-8d)(9c+8d)$.
Ответ: $(9c-8d)(9c+8d)$

7) Исходное выражение: $0,09x^2 - 0,25y^2$.
Представим каждый член выражения в виде квадрата: $0,09x^2 = (0,3x)^2$ и $0,25y^2 = (0,5y)^2$.
Выражение принимает вид $(0,3x)^2 - (0,5y)^2$.
Применив формулу, где $a=0,3x$ и $b=0,5y$, получаем: $(0,3x)^2 - (0,5y)^2 = (0,3x-0,5y)(0,3x+0,5y)$.
Ответ: $(0,3x-0,5y)(0,3x+0,5y)$

8) Исходное выражение: $a^2b^4 - c^6d^8$.
Представим каждый член выражения в виде квадрата, используя свойство степеней $(x^m)^n = x^{mn}$:
$a^2b^4 = a^2(b^2)^2 = (ab^2)^2$
$c^6d^8 = (c^3)^2(d^4)^2 = (c^3d^4)^2$
Выражение принимает вид $(ab^2)^2 - (c^3d^4)^2$.
Применив формулу, где $a=ab^2$ и $b=c^3d^4$, получаем: $(ab^2-c^3d^4)(ab^2+c^3d^4)$.
Ответ: $(ab^2 - c^3d^4)(ab^2 + c^3d^4)$

9) Исходное выражение: $4a^2c^2 - 9x^2y^2$.
Представим каждый член выражения в виде квадрата: $4a^2c^2 = (2ac)^2$ и $9x^2y^2 = (3xy)^2$.
Выражение принимает вид $(2ac)^2 - (3xy)^2$.
Применив формулу, где $a=2ac$ и $b=3xy$, получаем: $(2ac-3xy)(2ac+3xy)$.
Ответ: $(2ac-3xy)(2ac+3xy)$

10) Исходное выражение: $x^{24} - y^{22}$.
Представим каждый член выражения в виде квадрата: $x^{24} = (x^{12})^2$ и $y^{22} = (y^{11})^2$.
Выражение принимает вид $(x^{12})^2 - (y^{11})^2$.
Применив формулу, где $a=x^{12}$ и $b=y^{11}$, получаем: $(x^{12}-y^{11})(x^{12}+y^{11})$.
Ответ: $(x^{12}-y^{11})(x^{12}+y^{11})$

11) Исходное выражение: $-1600 + a^{12}$.
Переставим слагаемые: $a^{12} - 1600$.
Представим каждый член выражения в виде квадрата: $a^{12} = (a^6)^2$ и $1600 = 40^2$.
Выражение принимает вид $(a^6)^2 - 40^2$.
Применив формулу, где $a=a^6$ и $b=40$, получаем: $(a^6-40)(a^6+40)$.
Ответ: $(a^6-40)(a^6+40)$

12) Исходное выражение: $a^{18} - \frac{49}{64}$.
Представим каждый член выражения в виде квадрата: $a^{18} = (a^9)^2$ и $\frac{49}{64} = (\frac{7}{8})^2$.
Выражение принимает вид $(a^9)^2 - (\frac{7}{8})^2$.
Применив формулу, где $a=a^9$ и $b=\frac{7}{8}$, получаем: $(a^9 - \frac{7}{8})(a^9 + \frac{7}{8})$.
Ответ: $(a^9 - \frac{7}{8})(a^9 + \frac{7}{8})$

658. Вычислите, применяя формулу разности квадратов:

1) $86^2 - 76^2$;

2) $107^2 - 93^2$;

3) $7,32^2 - 6,32^2$;

4) $19,42^2 - 19,32^2$;

5) $8,54^2 - 1,46^2$;

6) $(3\frac{2}{3})^2 - (2\frac{1}{3})^2$.

Для решения всех пунктов используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

1) $86^2 - 76^2$
Применим формулу, где $a = 86$ и $b = 76$:
$86^2 - 76^2 = (86 - 76)(86 + 76) = 10 \cdot 162 = 1620$.
Ответ: 1620

2) $107^2 - 93^2$
Применим формулу, где $a = 107$ и $b = 93$:
$107^2 - 93^2 = (107 - 93)(107 + 93) = 14 \cdot 200 = 2800$.
Ответ: 2800

3) $7,32^2 - 6,32^2$
Применим формулу, где $a = 7,32$ и $b = 6,32$:
$7,32^2 - 6,32^2 = (7,32 - 6,32)(7,32 + 6,32) = 1 \cdot 13,64 = 13,64$.
Ответ: 13,64

4) $19,4^2 - 19,3^2$
Применим формулу, где $a = 19,4$ и $b = 19,3$:
$19,4^2 - 19,3^2 = (19,4 - 19,3)(19,4 + 19,3) = 0,1 \cdot 38,7 = 3,87$.
Ответ: 3,87

5) $8,54^2 - 1,46^2$
Применим формулу, где $a = 8,54$ и $b = 1,46$:
$8,54^2 - 1,46^2 = (8,54 - 1,46)(8,54 + 1,46) = 7,08 \cdot 10 = 70,8$.
Ответ: 70,8

6) $(3\frac{2}{3})^2 - (2\frac{1}{3})^2$
Применим формулу, где $a = 3\frac{2}{3}$ и $b = 2\frac{1}{3}$:
$(3\frac{2}{3})^2 - (2\frac{1}{3})^2 = (3\frac{2}{3} - 2\frac{1}{3})(3\frac{2}{3} + 2\frac{1}{3})$.
Вычислим отдельно значение каждого множителя:
$3\frac{2}{3} - 2\frac{1}{3} = (3-2) + (\frac{2}{3}-\frac{1}{3}) = 1\frac{1}{3}$.
$3\frac{2}{3} + 2\frac{1}{3} = (3+2) + (\frac{2}{3}+\frac{1}{3}) = 5 + 1 = 6$.
Теперь перемножим полученные результаты. Для этого представим смешанное число $1\frac{1}{3}$ в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{4}{3}$.
$\frac{4}{3} \cdot 6 = \frac{4 \cdot 6}{3} = 4 \cdot 2 = 8$.
Ответ: 8

659. Найдите значение выражения $x^2 - y^2$, если:

1) $x = 75, y = 25$;

2) $x = 10,5, y = 9,5$;

3) $x = 5,89, y = 4,11$;

4) $x = 3,04, y = 1,96$.

Для нахождения значения выражения $x^2 - y^2$ во всех пунктах удобно использовать формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

1) $x = 75, y = 25$

Подставляем данные значения в формулу:

$x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) = (75-25)(75+25) = 50 \cdot 100 = 5000$.

Ответ: 5000.

2) $x = 10,5, y = 9,5$

Подставляем данные значения в формулу:

$x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) = (10,5 - 9,5)(10,5 + 9,5) = 1 \cdot 20 = 20$.

Ответ: 20.

3) $x = 5,89, y = 4,11$

Подставляем данные значения в формулу:

$x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) = (5,89 - 4,11)(5,89 + 4,11) = 1,78 \cdot 10 = 17,8$.

Ответ: 17,8.

4) $x = 3,04, y = 1,96$

Подставляем данные значения в формулу:

$x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) = (3,04 - 1,96)(3,04 + 1,96) = 1,08 \cdot 5 = 5,4$.

Ответ: 5,4.

660. Решите уравнение:

1) $x^2 - 49 = 0;$

2) $\frac{1}{4} - z^2 = 0;$

3) $x^2 + 36 = 0;$

4) $x^2 - 0,01 = 0;$

5) $9x^2 - 4 = 0;$

6) $0,04x^2 - 1 = 0.$

1) $x^2 - 49 = 0$
Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$.
Перенесем свободный член (-49) в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$x^2 = 49$
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Следует помнить, что существует два корня: положительный и отрицательный.
$x = \pm\sqrt{49}$
$x_1 = 7$ и $x_2 = -7$.
Другой способ решения — использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2 - 7^2 = 0$
$(x - 7)(x + 7) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x - 7 = 0$ или $x + 7 = 0$
$x = 7$ или $x = -7$.
Ответ: $-7; 7$.

2) $\frac{1}{4} - z^2 = 0$
Перенесем $-z^2$ в правую часть уравнения:
$\frac{1}{4} = z^2$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$z = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$
$z_1 = \frac{1}{2}$ и $z_2 = -\frac{1}{2}$.
В десятичной форме это $0,5$ и $-0,5$.
Ответ: $-0,5; 0,5$.

3) $x^2 + 36 = 0$
Перенесем свободный член (36) в правую часть уравнения:
$x^2 = -36$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным числом. Поскольку в левой части уравнения стоит $x^2$ (которое всегда $\ge 0$ для действительных $x$), а в правой — отрицательное число ($-36$), данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.
Ответ: нет действительных корней.

4) $x^2 - 0,01 = 0$
Перенесем $-0,01$ в правую часть уравнения:
$x^2 = 0,01$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x = \pm\sqrt{0,01}$
Так как $0,1^2 = 0,01$, получаем:
$x_1 = 0,1$ и $x_2 = -0,1$.
Ответ: $-0,1; 0,1$.

5) $9x^2 - 4 = 0$
Перенесем $-4$ в правую часть:
$9x^2 = 4$
Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на 9:
$x^2 = \frac{4}{9}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{\frac{4}{9}}$
$x_1 = \frac{2}{3}$ и $x_2 = -\frac{2}{3}$.
Ответ: $-\frac{2}{3}; \frac{2}{3}$.

6) $0,04x^2 - 1 = 0$
Перенесем $-1$ в правую часть уравнения:
$0,04x^2 = 1$
Разделим обе части на $0,04$:
$x^2 = \frac{1}{0,04}$
Чтобы упростить дробь, можно умножить числитель и знаменатель на 100:
$x^2 = \frac{1 \cdot 100}{0,04 \cdot 100} = \frac{100}{4}$
$x^2 = 25$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{25}$
$x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.
Ответ: $-5; 5$.

661. Решите уравнение:

1) $c^2 - 0.25 = 0$;

2) $81x^2 - 121 = 0$;

3) $-0.09 + 4x^2 = 0$.

1) $c^2 - 0,25 = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Для его решения перенесем свободный член в правую часть уравнения, изменив его знак:
$c^2 = 0,25$
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что у положительного числа есть два квадратных корня: положительный и отрицательный.
$c = \pm\sqrt{0,25}$
Так как $\sqrt{0,25} = 0,5$, получаем два корня:
$c_1 = 0,5$ и $c_2 = -0,5$.
Ответ: $c = \pm0,5$.

2) $81x^2 - 121 = 0$
Это также неполное квадратное уравнение. Перенесем член $-121$ в правую часть уравнения:
$81x^2 = 121$
Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на 81:
$x^2 = \frac{121}{81}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{\frac{121}{81}}$
Используя свойство корня из дроби $(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}})$, получаем:
$x = \pm\frac{\sqrt{121}}{\sqrt{81}}$
$x = \pm\frac{11}{9}$
Можно оставить ответ в виде неправильной дроби или выделить целую часть: $x = \pm1\frac{2}{9}$.
Ответ: $x = \pm\frac{11}{9}$.

3) $-0,09 + 4x^2 = 0$
Для удобства поменяем местами слагаемые в левой части:
$4x^2 - 0,09 = 0$
Перенесем свободный член $-0,09$ в правую часть уравнения:
$4x^2 = 0,09$
Разделим обе части на 4:
$x^2 = \frac{0,09}{4}$
Можно разделить $0,09$ на $4$, получив $0,0225$, или оставить в виде дроби. Извлечем квадратный корень:
$x = \pm\sqrt{\frac{0,09}{4}}$
$x = \pm\frac{\sqrt{0,09}}{\sqrt{4}}$
$x = \pm\frac{0,3}{2}$
Вычислим значение дроби:
$x = \pm0,15$
Ответ: $x = \pm0,15$.

662. Найдите значение выражения:

1) $(9x - 4)^2 - (7x + 5)^2$, если $x = 1,5;$

2) $(5x + 3y)^2 - (3x + 5y)^2$, если $x = 2,1, y = 1,9.$

1) Чтобы найти значение выражения $(9x - 4)^2 - (7x + 5)^2$, если $x = 1,5$, мы можем сначала упростить выражение, используя формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В данном случае, пусть $a = 9x - 4$ и $b = 7x + 5$.

Применим формулу:

$(9x - 4)^2 - (7x + 5)^2 = ((9x - 4) - (7x + 5)) \cdot ((9x - 4) + (7x + 5))$

Теперь упростим выражения в каждой из скобок:

Первая скобка: $9x - 4 - 7x - 5 = 2x - 9$.

Вторая скобка: $9x - 4 + 7x + 5 = 16x + 1$.

Таким образом, исходное выражение равно $(2x - 9)(16x + 1)$.

Теперь подставим значение $x = 1,5$ в полученное выражение:

$(2 \cdot 1,5 - 9)(16 \cdot 1,5 + 1) = (3 - 9)(24 + 1) = (-6) \cdot 25 = -150$.

Ответ: -150.

2) Чтобы найти значение выражения $(5x + 3y)^2 - (3x + 5y)^2$, если $x = 2,1$ и $y = 1,9$, также воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Здесь $a = 5x + 3y$ и $b = 3x + 5y$.

Подставим в формулу:

$(5x + 3y)^2 - (3x + 5y)^2 = ((5x + 3y) - (3x + 5y)) \cdot ((5x + 3y) + (3x + 5y))$

Упростим выражения в скобках:

Первая скобка: $5x + 3y - 3x - 5y = 2x - 2y = 2(x - y)$.

Вторая скобка: $5x + 3y + 3x + 5y = 8x + 8y = 8(x + y)$.

Получаем упрощенное выражение: $2(x - y) \cdot 8(x + y) = 16(x - y)(x + y)$.

Теперь подставим заданные значения $x = 2,1$ и $y = 1,9$:

$16(2,1 - 1,9)(2,1 + 1,9) = 16 \cdot (0,2) \cdot (4,0) = 16 \cdot 0,8 = 12,8$.

Ответ: 12,8.