Номер 656, страница 116 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Разность квадратов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 656, страница 116.

Условие.

656. Разложите на множители:

1) $b^2 - d^2$;

2) $x^2 - 1$;

3) $-x^2 + 1$;

4) $36 - c^2$;

5) $4 - 25a^2$;

6) $49a^2 - 100$;

7) $900 - 81k^2$;

8) $16x^2 - 121y^2$;

9) $b^2c^2 - 1$;

10) $\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{9}y^2$;

11) $-4a^2b^2 + 25$;

12) $144x^2y^2 - 400$;

13) $a^2b^2c^2 - 1$;

14) $100a^2 - 0,01b^2$;

15) $a^4 - b^2$;

16) $p^2t^2 - 0,36k^2d^2$;

17) $y^{10} - 9$;

18) $4x^{12} - 1\frac{11}{25}y^{16}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Все выражения в данном задании представляют собой разность квадратов и раскладываются на множители с помощью формулы: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

1) Выражение $b^2 - d^2$ является разностью квадратов. В данном случае $a = b$ и $b = d$. Применяя формулу, получаем: $b^2 - d^2 = (b - d)(b + d)$.
Ответ: $(b - d)(b + d)$

2) В выражении $x^2 - 1$ представим 1 как $1^2$, чтобы получить $x^2 - 1^2$. Здесь $a = x$ и $b = 1$. По формуле разности квадратов: $x^2 - 1^2 = (x - 1)(x + 1)$.
Ответ: $(x - 1)(x + 1)$

3) Выражение $-x^2 + 1$ можно переписать как $1 - x^2$. Представим 1 как $1^2$, получим $1^2 - x^2$. Здесь $a = 1$ и $b = x$. По формуле: $1^2 - x^2 = (1 - x)(1 + x)$.
Ответ: $(1 - x)(1 + x)$

4) В выражении $36 - c^2$ представим 36 как $6^2$, получим $6^2 - c^2$. Здесь $a = 6$ и $b = c$. По формуле: $6^2 - c^2 = (6 - c)(6 + c)$.
Ответ: $(6 - c)(6 + c)$

5) В выражении $4 - 25a^2$ представим 4 как $2^2$ и $25a^2$ как $(5a)^2$. Получим $2^2 - (5a)^2$. Здесь $a = 2$ и $b = 5a$. По формуле: $2^2 - (5a)^2 = (2 - 5a)(2 + 5a)$.
Ответ: $(2 - 5a)(2 + 5a)$

6) В выражении $49a^2 - 100$ представим $49a^2$ как $(7a)^2$ и 100 как $10^2$. Получим $(7a)^2 - 10^2$. Здесь $a = 7a$ и $b = 10$. По формуле: $(7a)^2 - 10^2 = (7a - 10)(7a + 10)$.
Ответ: $(7a - 10)(7a + 10)$

7) В выражении $900 - 81k^2$ сначала вынесем общий множитель 9 за скобки: $9(100 - 9k^2)$. Теперь разложим выражение в скобках, представив 100 как $10^2$ и $9k^2$ как $(3k)^2$. Получим $10^2 - (3k)^2$. Применяя формулу разности квадратов, где $a = 10$ и $b = 3k$, имеем: $9(10 - 3k)(10 + 3k)$.
Ответ: $9(10 - 3k)(10 + 3k)$

8) В выражении $16x^2 - 121y^2$ представим $16x^2$ как $(4x)^2$ и $121y^2$ как $(11y)^2$. Получим $(4x)^2 - (11y)^2$. Здесь $a = 4x$ и $b = 11y$. По формуле: $(4x)^2 - (11y)^2 = (4x - 11y)(4x + 11y)$.
Ответ: $(4x - 11y)(4x + 11y)$

9) В выражении $b^2c^2 - 1$ представим $b^2c^2$ как $(bc)^2$ и 1 как $1^2$. Получим $(bc)^2 - 1^2$. Здесь $a = bc$ и $b = 1$. По формуле: $(bc)^2 - 1^2 = (bc - 1)(bc + 1)$.
Ответ: $(bc - 1)(bc + 1)$

10) В выражении $\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{9}y^2$ представим $\frac{1}{4}x^2$ как $(\frac{1}{2}x)^2$ и $\frac{1}{9}y^2$ как $(\frac{1}{3}y)^2$. Получим $(\frac{1}{2}x)^2 - (\frac{1}{3}y)^2$. Здесь $a = \frac{1}{2}x$ и $b = \frac{1}{3}y$. По формуле: $(\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y)(\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y)$.
Ответ: $(\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y)(\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y)$

11) Выражение $-4a^2b^2 + 25$ перепишем как $25 - 4a^2b^2$. Представим 25 как $5^2$ и $4a^2b^2$ как $(2ab)^2$. Получим $5^2 - (2ab)^2$. Здесь $a = 5$ и $b = 2ab$. По формуле: $5^2 - (2ab)^2 = (5 - 2ab)(5 + 2ab)$.
Ответ: $(5 - 2ab)(5 + 2ab)$

12) В выражении $144x^2y^2 - 400$ вынесем общий множитель 16: $16(9x^2y^2 - 25)$. Разложим выражение в скобках, представив $9x^2y^2$ как $(3xy)^2$ и 25 как $5^2$. Получим $(3xy)^2 - 5^2$. Применяя формулу, где $a = 3xy$ и $b = 5$, имеем: $16(3xy - 5)(3xy + 5)$.
Ответ: $16(3xy - 5)(3xy + 5)$

13) В выражении $a^2b^2c^2 - 1$ представим $a^2b^2c^2$ как $(abc)^2$ и 1 как $1^2$. Получим $(abc)^2 - 1^2$. Здесь $a = abc$ и $b = 1$. По формуле: $(abc)^2 - 1^2 = (abc - 1)(abc + 1)$.
Ответ: $(abc - 1)(abc + 1)$

14) В выражении $100a^2 - 0,01b^2$ представим $100a^2$ как $(10a)^2$ и $0,01b^2$ как $(0,1b)^2$. Получим $(10a)^2 - (0,1b)^2$. Здесь $a = 10a$ и $b = 0,1b$. По формуле: $(10a - 0,1b)(10a + 0,1b)$.
Ответ: $(10a - 0,1b)(10a + 0,1b)$

15) В выражении $a^4 - b^2$ представим $a^4$ как $(a^2)^2$. Получим $(a^2)^2 - b^2$. Здесь $a = a^2$ и $b = b$. По формуле: $(a^2)^2 - b^2 = (a^2 - b)(a^2 + b)$.
Ответ: $(a^2 - b)(a^2 + b)$

16) В выражении $p^2t^2 - 0,36k^2d^2$ представим $p^2t^2$ как $(pt)^2$ и $0,36k^2d^2$ как $(0,6kd)^2$. Получим $(pt)^2 - (0,6kd)^2$. Здесь $a = pt$ и $b = 0,6kd$. По формуле: $(pt - 0,6kd)(pt + 0,6kd)$.
Ответ: $(pt - 0,6kd)(pt + 0,6kd)$

17) В выражении $y^{10} - 9$ представим $y^{10}$ как $(y^5)^2$ и 9 как $3^2$. Получим $(y^5)^2 - 3^2$. Здесь $a = y^5$ и $b = 3$. По формуле: $(y^5)^2 - 3^2 = (y^5 - 3)(y^5 + 3)$.
Ответ: $(y^5 - 3)(y^5 + 3)$

18) В выражении $4x^{12} - 1\frac{11}{25}y^{16}$ преобразуем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{11}{25} = \frac{36}{25}$. Выражение примет вид $4x^{12} - \frac{36}{25}y^{16}$. Представим $4x^{12}$ как $(2x^6)^2$ и $\frac{36}{25}y^{16}$ как $(\frac{6}{5}y^8)^2$. Получим $(2x^6)^2 - (\frac{6}{5}y^8)^2$. Здесь $a = 2x^6$ и $b = \frac{6}{5}y^8$. По формуле: $(2x^6 - \frac{6}{5}y^8)(2x^6 + \frac{6}{5}y^8)$.
Ответ: $(2x^6 - \frac{6}{5}y^8)(2x^6 + \frac{6}{5}y^8)$