Страница 121 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какое тождество называют формулой квадрата суммы двух выражений?

1. Формулой квадрата суммы двух выражений называют тождество, которое показывает, как представить в виде многочлена квадрат суммы двух каких-либо выражений. Это одна из основных формул сокращенного умножения.

Словесно это правило формулируется следующим образом: квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

В виде математической формулы это тождество записывается так:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

где $a$ и $b$ — любые числа или алгебраические выражения.

Доказательство этого тождества:

Чтобы доказать справедливость этой формулы, необходимо раскрыть левую часть равенства, используя определение степени и правило умножения многочленов.

1. Представим квадрат суммы в виде произведения двух одинаковых скобок:

$(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$

2. Раскроем скобки, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$(a + b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b$

3. Упростим полученное выражение. Учитывая, что от перемены мест множителей произведение не меняется ($ab = ba$), приведем подобные слагаемые:

$a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Таким образом, мы доказали, что левая часть равенства $(a + b)^2$ тождественно равна правой части $a^2 + 2ab + b^2$.

Ответ: Тождество, называемое формулой квадрата суммы двух выражений, записывается как: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

2. Сформулируйте правило возведения суммы двух выражений в квадрат.

Правило возведения суммы двух выражений в квадрат, также известное как формула сокращенного умножения "квадрат суммы", формулируется следующим образом: квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

Математически это правило записывается в виде формулы:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

где $a$ и $b$ — это произвольные выражения.

Обоснование правила:

Возведение в степень "2" (в квадрат) означает умножение выражения само на себя. Таким образом, мы можем записать $(a + b)^2$ как произведение двух скобок:

$(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$

Далее, чтобы раскрыть скобки, мы используем правило умножения многочленов: каждый член из первой скобки умножается на каждый член из второй скобки, а результаты складываются.

$(a + b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b$

Выполняя умножение, получаем:

$a^2 + ab + ba + b^2$

Поскольку от перемены мест множителей произведение не меняется (коммутативный закон умножения), то $ab = ba$. Это позволяет нам сложить два центральных члена как подобные слагаемые:

$a^2 + (ab + ab) + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Таким образом, мы приходим к окончательной формуле, доказывая справедливость правила.

Ответ: Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого выражения на второе, плюс квадрат второго выражения. Формула: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

3. Какое тождество называют формулой квадрата разности двух выражений?

Формулой квадрата разности двух выражений называют тождество, которое описывает, как возвести в квадрат разность двух любых математических выражений. Это одна из ключевых формул сокращенного умножения.

Это тождество формулируется следующим образом: квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого выражения на второе, плюс квадрат второго выражения.

В виде формулы это записывается так:
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Доказательство
Это тождество легко доказать, представив квадрат разности как произведение двух одинаковых множителей и выполнив умножение многочлена на многочлен:
$(a - b)^2 = (a - b)(a - b)$
Раскроем скобки, последовательно умножая каждый член первого двучлена на каждый член второго:
$(a - b)(a - b) = a \cdot a + a \cdot (-b) - b \cdot a - b \cdot (-b) = a^2 - ab - ba + b^2$
Приведем подобные слагаемые, учитывая, что $ab = ba$:
$a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Таким образом, мы доказали, что $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Ответ: Формулой квадрата разности двух выражений называют тождество $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

4. Сформулируйте правило возведения разности двух выражений в квадрат.

Правило возведения разности двух выражений в квадрат, известное как формула сокращенного умножения "квадрат разности", формулируется следующим образом:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого выражения на второе, плюс квадрат второго выражения.

В виде формулы это правило записывается так:

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

где a — первое выражение, а b — второе выражение.

Доказательство формулы

Чтобы доказать эту формулу, представим квадрат выражения как произведение этого выражения на само себя и раскроем скобки, используя правило умножения многочленов:

$(a - b)^2 = (a - b)(a - b)$

Раскрываем скобки:

$(a - b)(a - b) = a \cdot a + a \cdot (-b) - b \cdot a - b \cdot (-b) = a^2 - ab - ba + b^2$

Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется ($ab = ba$), мы можем сгруппировать и привести подобные члены:

$a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Таким образом, формула доказана.

Пример применения

Рассмотрим, как возвести в квадрат разность $(3x - 4y)$ с помощью этого правила.

В этом выражении первое слагаемое $a = 3x$, а второе $b = 4y$.

Применяем формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(3x - 4y)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot (4y) + (4y)^2$

Теперь выполним вычисления для каждого члена:

• Квадрат первого выражения: $(3x)^2 = 9x^2$
• Удвоенное произведение первого и второго выражений: $2 \cdot (3x) \cdot (4y) = 24xy$
• Квадрат второго выражения: $(4y)^2 = 16y^2$

Подставляем полученные результаты обратно в выражение:

$(3x - 4y)^2 = 9x^2 - 24xy + 16y^2$

Ответ: Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения. Формула: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

689. Является ли данное выражение квадратом суммы или квадратом разности двух выражений:

1) $(a + 50)^2$;
2) $a^2 + b^2$;
3) $(5 - x)^2$;
4) $m^2 - n^2$;
5) $(xy + mn)^2$;
6) $(6 - c)^3$?

1) Выражение $(a + 50)^2$ по определению является квадратом суммы двух выражений: $a$ и $50$.
Ответ: Да, является квадратом суммы.

2) Выражение $a^2 + b^2$ является суммой квадратов. Формула квадрата суммы имеет вид $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, а квадрата разности — $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$. В данном выражении отсутствует член с удвоенным произведением ($2ab$), поэтому оно не является квадратом суммы или разности.
Ответ: Нет, не является.

3) Выражение $(5 - x)^2$ по определению является квадратом разности двух выражений: $5$ и $x$.
Ответ: Да, является квадратом разности.

4) Выражение $m^2 - n^2$ — это разность квадратов. По формуле сокращенного умножения, оно равно произведению разности и суммы выражений: $m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$. Это не является ни квадратом суммы, ни квадратом разности.
Ответ: Нет, не является.

5) Выражение $(xy + mn)^2$ по определению является квадратом суммы двух выражений: $xy$ и $mn$.
Ответ: Да, является квадратом суммы.

6) Выражение $(6 - c)^3$ возведено в третью степень, а не во вторую. Это куб разности, а не квадрат разности.
Ответ: Нет, не является.

690. Какому из данных многочленов тождественно равно выражение $(5a + 3)^2$:

1) $25a^2 + 15a + 9;$

2) $25a^2 + 30a + 9;$

3) $25a^2 + 9;$

4) $5a^2 + 3?$

Для того чтобы найти, какому из данных многочленов тождественно равно выражение $(5a + 3)^2$, необходимо раскрыть скобки. Для этого используется формула сокращенного умножения "квадрат суммы": $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В нашем выражении в качестве $x$ выступает $5a$, а в качестве $y$ выступает $3$.

Применим формулу, выполняя вычисления пошагово:

1. Возводим в квадрат первое слагаемое: $(5a)^2 = 5^2 \cdot a^2 = 25a^2$.

2. Находим удвоенное произведение первого и второго слагаемых: $2 \cdot (5a) \cdot 3 = 30a$.

3. Возводим в квадрат второе слагаемое: $3^2 = 9$.

Теперь сложим все полученные члены, чтобы получить итоговый многочлен: $25a^2 + 30a + 9$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту под номером 2.

Ответ: 2) $25a^2 + 30a + 9$.

691. Какое из данных равенств является тождеством:

1) $(12a - b)^2 = 144a^2 - b^2;$

2) $(12a - b)^2 = 144a^2 + 24ab + b^2;$

3) $(12a - b)^2 = 144a^2 - 24ab + b^2;$

4) $(12a - b)^2 = 12a^2 - 24ab + b^2?$

Чтобы определить, какое из данных равенств является тождеством, необходимо правильно раскрыть левую часть, то есть выражение $(12a - b)^2$. Для этого воспользуемся формулой сокращенного умножения "квадрат разности":

$(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

Подставим в эту формулу $x = 12a$ и $y = b$:

$(12a - b)^2 = (12a)^2 - 2 \cdot (12a) \cdot b + b^2 = 144a^2 - 24ab + b^2$

Теперь сравним полученный результат с каждым из предложенных равенств.

1) $(12a - b)^2 = 144a^2 - b^2$

Данное равенство не является тождеством. Сравнивая правую часть $144a^2 - b^2$ с правильным раскрытием $144a^2 - 24ab + b^2$, видим, что отсутствует член с удвоенным произведением $-24ab$. Выражение $144a^2 - b^2$ является разностью квадратов.

Ответ: не является тождеством.

2) $(12a - b)^2 = 144a^2 + 24ab + b^2$

Данное равенство не является тождеством. В правой части $144a^2 + 24ab + b^2$ знак перед удвоенным произведением ($+24ab$) неверен. Для квадрата разности он должен быть отрицательным. Правая часть этого равенства соответствует квадрату суммы $(12a + b)^2$.

Ответ: не является тождеством.

3) $(12a - b)^2 = 144a^2 - 24ab + b^2$

Данное равенство является тождеством. Правая часть $144a^2 - 24ab + b^2$ в точности совпадает с результатом, полученным при раскрытии скобок в левой части по формуле квадрата разности.

Ответ: является тождеством.

4) $(12a - b)^2 = 12a^2 - 24ab + b^2$

Данное равенство не является тождеством. В правой части $12a^2 - 24ab + b^2$ допущена ошибка при возведении в квадрат первого члена: $(12a)^2 = 144a^2$, а не $12a^2$.

Ответ: не является тождеством.

692. Представьте в виде многочлена выражение:

1) $(a+x)^2$;

2) $(x+2)^2$;

3) $(y-1)^2$;

4) $(5-p)^2$;

5) $(y-13)^2$;

6) $(13-y)^2$.

Для решения этого задания используются формулы сокращенного умножения, а именно формула квадрата суммы и формула квадрата разности.

Формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

1) Применяем формулу квадрата суммы для выражения $(a + x)^2$. Здесь $a$ – это первое слагаемое, а $x$ – второе.
$(a + x)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot x + x^2 = a^2 + 2ax + x^2$
Ответ: $a^2 + 2ax + x^2$

2) Применяем формулу квадрата суммы для выражения $(x + 2)^2$. Здесь $x$ – это первое слагаемое, а $2$ – второе.
$(x + 2)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4$
Ответ: $x^2 + 4x + 4$

3) Применяем формулу квадрата разности для выражения $(y - 1)^2$. Здесь $y$ – это уменьшаемое, а $1$ – вычитаемое.
$(y - 1)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2 = y^2 - 2y + 1$
Ответ: $y^2 - 2y + 1$

4) Применяем формулу квадрата разности для выражения $(5 - p)^2$. Здесь $5$ – это уменьшаемое, а $p$ – вычитаемое.
$(5 - p)^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot p + p^2 = 25 - 10p + p^2$
Ответ: $25 - 10p + p^2$

5) Применяем формулу квадрата разности для выражения $(y - 13)^2$. Здесь $y$ – это уменьшаемое, а $13$ – вычитаемое.
$(y - 13)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 13 + 13^2 = y^2 - 26y + 169$
Ответ: $y^2 - 26y + 169$

6) Применяем формулу квадрата разности для выражения $(13 - y)^2$. Здесь $13$ – это уменьшаемое, а $y$ – вычитаемое.
$(13 - y)^2 = 13^2 - 2 \cdot 13 \cdot y + y^2 = 169 - 26y + y^2$
Ответ: $169 - 26y + y^2$

693. Выполните возведение в квадрат:

1) $(a+8)^2;$

2) $(b-2)^2;$

3) $(7+c)^2;$

4) $(4+k)^2;$

5) $(6-d)^2;$

6) $(d-6)^2.$

Для решения данных задач используются формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности.

Формула квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.

Формула квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.

1) Применим формулу квадрата суммы для выражения $(a + 8)^2$. Здесь $x=a$, $y=8$.

$(a + 8)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 8 + 8^2 = a^2 + 16a + 64$.

Ответ: $a^2 + 16a + 64$.

2) Применим формулу квадрата разности для выражения $(b - 2)^2$. Здесь $x=b$, $y=2$.

$(b - 2)^2 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 2 + 2^2 = b^2 - 4b + 4$.

Ответ: $b^2 - 4b + 4$.

3) Используем формулу квадрата суммы для выражения $(7 + c)^2$. Здесь $x=7$, $y=c$.

$(7 + c)^2 = 7^2 + 2 \cdot 7 \cdot c + c^2 = 49 + 14c + c^2$.

Ответ: $49 + 14c + c^2$.

4) Для выражения $(4 + k)^2$ снова используем формулу квадрата суммы. Здесь $x=4$, $y=k$.

$(4 + k)^2 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot k + k^2 = 16 + 8k + k^2$.

Ответ: $16 + 8k + k^2$.

5) В выражении $(6 - d)^2$ применим формулу квадрата разности. Здесь $x=6$, $y=d$.

$(6 - d)^2 = 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot d + d^2 = 36 - 12d + d^2$.

Ответ: $36 - 12d + d^2$.

6) Выражение $(d - 6)^2$ является квадратом разности. Здесь $x=d$, $y=6$.

$(d - 6)^2 = d^2 - 2 \cdot d \cdot 6 + 6^2 = d^2 - 12d + 36$.

Стоит отметить, что $(6 - d)^2 = (d - 6)^2$, так как квадрат противоположных чисел равен.

Ответ: $d^2 - 12d + 36$.

694. Завершите возведение двучлена в квадрат:

1) $(3x + 5y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 5y + (5y)^2 = \dots ;$

2) $\left(\frac{1}{2}a + 6b\right)^2 = \left(\frac{1}{2}a\right)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}a \cdot 6b + (6b)^2 = \dots ;$

3) $\left(\frac{1}{3}x^4 - 0.6y^5\right)^2 = \left(\frac{1}{3}x^4\right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{3}x^4 \cdot 0.6y^5 + (0.6y^5)^2 = \dots .$

1) Исходное выражение: $(3x + 5y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 5y + (5y)^2$.
Для завершения возведения в квадрат необходимо упростить каждый член выражения, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
- Квадрат первого члена: $(3x)^2 = 3^2 \cdot x^2 = 9x^2$.
- Удвоенное произведение первого и второго членов: $2 \cdot 3x \cdot 5y = (2 \cdot 3 \cdot 5)xy = 30xy$.
- Квадрат второго члена: $(5y)^2 = 5^2 \cdot y^2 = 25y^2$.
Соединив упрощенные члены, получаем: $9x^2 + 30xy + 25y^2$.
Ответ: $9x^2 + 30xy + 25y^2$.

2) Исходное выражение: $(\frac{1}{2}a + 6b)^2 = (\frac{1}{2}a)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}a \cdot 6b + (6b)^2$.
Упростим каждый член, следуя формуле квадрата суммы.
- Квадрат первого члена: $(\frac{1}{2}a)^2 = (\frac{1}{2})^2 \cdot a^2 = \frac{1}{4}a^2$.
- Удвоенное произведение: $2 \cdot \frac{1}{2}a \cdot 6b = (2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6)ab = 6ab$.
- Квадрат второго члена: $(6b)^2 = 6^2 \cdot b^2 = 36b^2$.
Результат: $\frac{1}{4}a^2 + 6ab + 36b^2$.
Ответ: $\frac{1}{4}a^2 + 6ab + 36b^2$.

3) Исходное выражение: $(\frac{1}{3}x^4 - 0,6y^5)^2 = (\frac{1}{3}x^4)^2 - 2 \cdot \frac{1}{3}x^4 \cdot 0,6y^5 + (0,6y^5)^2$.
Для завершения операции используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и упрощаем каждый член.
- Квадрат первого члена: $(\frac{1}{3}x^4)^2 = (\frac{1}{3})^2 \cdot (x^4)^2 = \frac{1}{9}x^{4 \cdot 2} = \frac{1}{9}x^8$.
- Удвоенное произведение: $2 \cdot \frac{1}{3}x^4 \cdot 0,6y^5$. Для удобства вычисления коэффициента представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$. Тогда коэффициент равен $2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 1 \cdot 3}{3 \cdot 5} = \frac{2}{5} = 0,4$. Таким образом, второй член равен $0,4x^4y^5$.
- Квадрат второго члена: $(0,6y^5)^2 = (0,6)^2 \cdot (y^5)^2 = 0,36y^{5 \cdot 2} = 0,36y^{10}$.
Собираем все члены вместе: $\frac{1}{9}x^8 - 0,4x^4y^5 + 0,36y^{10}$.
Ответ: $\frac{1}{9}x^8 - 0,4x^4y^5 + 0,36y^{10}$.

695. Завершите возведение двучлена в квадрат:

1) $(ab - 9)^2 = (ab)^2 - 2 \cdot ab \cdot 9 + 9^2 = \dots$;

2) $(4a^2 + a^3)^2 = (4a^2)^2 + 2 \cdot 4a^2 \cdot a^3 + (a^3)^2 = \dots$

1) Для завершения возведения в квадрат двучлена $(ab - 9)^2$, мы используем формулу квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном случае $x=ab$ и $y=9$.
Исходное выражение в задании: $(ab)^2 - 2 \cdot ab \cdot 9 + 9^2 = \dots$
Теперь упростим каждый член этого выражения:
- Квадрат первого члена: $(ab)^2 = a^2b^2$.
- Удвоенное произведение первого и второго членов: $2 \cdot ab \cdot 9 = 18ab$.
- Квадрат второго члена: $9^2 = 81$.
Объединяем полученные члены в многочлен: $a^2b^2 - 18ab + 81$.
Ответ: $a^2b^2 - 18ab + 81$.

2) Для завершения возведения в квадрат двучлена $(4a^2 + a^3)^2$, мы используем формулу квадрата суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В данном случае $x=4a^2$ и $y=a^3$.
Исходное выражение в задании: $(4a^2)^2 + 2 \cdot 4a^2 \cdot a^3 + (a^3)^2 = \dots$
Теперь упростим каждый член этого выражения, применяя свойства степеней:
- Квадрат первого члена: $(4a^2)^2 = 4^2 \cdot (a^2)^2 = 16a^{2 \cdot 2} = 16a^4$.
- Удвоенное произведение первого и второго членов: $2 \cdot 4a^2 \cdot a^3 = 8a^{2+3} = 8a^5$.
- Квадрат второго члена: $(a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6$.
Объединяем полученные члены в многочлен: $16a^4 + 8a^5 + a^6$.
Ответ: $16a^4 + 8a^5 + a^6$.