Номер 4, страница 121 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 4, страница 121.

Условие.

4. Сформулируйте правило возведения разности двух выражений в квадрат.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Правило возведения разности двух выражений в квадрат, известное как формула сокращенного умножения "квадрат разности", формулируется следующим образом:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого выражения на второе, плюс квадрат второго выражения.

В виде формулы это правило записывается так:

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

где a — первое выражение, а b — второе выражение.

Доказательство формулы

Чтобы доказать эту формулу, представим квадрат выражения как произведение этого выражения на само себя и раскроем скобки, используя правило умножения многочленов:

$(a - b)^2 = (a - b)(a - b)$

Раскрываем скобки:

$(a - b)(a - b) = a \cdot a + a \cdot (-b) - b \cdot a - b \cdot (-b) = a^2 - ab - ba + b^2$

Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется ($ab = ba$), мы можем сгруппировать и привести подобные члены:

$a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Таким образом, формула доказана.

Пример применения

Рассмотрим, как возвести в квадрат разность $(3x - 4y)$ с помощью этого правила.

В этом выражении первое слагаемое $a = 3x$, а второе $b = 4y$.

Применяем формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(3x - 4y)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot (4y) + (4y)^2$

Теперь выполним вычисления для каждого члена:

• Квадрат первого выражения: $(3x)^2 = 9x^2$
• Удвоенное произведение первого и второго выражений: $2 \cdot (3x) \cdot (4y) = 24xy$
• Квадрат второго выражения: $(4y)^2 = 16y^2$

Подставляем полученные результаты обратно в выражение:

$(3x - 4y)^2 = 9x^2 - 24xy + 16y^2$

Ответ: Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения. Формула: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.