Страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

728. Древнегреческий учёный Евклид (III в. до н. э.) доказывал формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений геометрически. Пользуясь рисунками 5 и 6, восстановите его доказательство.

Рис. 5

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Рис. 6

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Доказательство формулы квадрата суммы (Рис. 5)

Древние греки доказывали формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ геометрически, используя рисунок 5.

1. Рассмотрим большой квадрат. Длина его стороны складывается из двух отрезков, $a$ и $b$. Таким образом, сторона большого квадрата равна $a+b$.

2. Площадь квадрата вычисляется как квадрат его стороны. Следовательно, площадь большого квадрата равна $S_{общ} = (a+b)^2$.

3. Этот большой квадрат разделен на четыре части. Мы можем найти его площадь как сумму площадей этих частей:

- Квадрат в левом нижнем углу со стороной $a$. Его площадь равна $a^2$.

- Квадрат в правом верхнем углу со стороной $b$. Его площадь равна $b^2$.

- Два прямоугольника: один в левом верхнем углу, другой в правом нижнем. Оба имеют стороны $a$ и $b$. Площадь каждого из них равна $ab$.

4. Сумма площадей этих четырех частей равна: $a^2 + b^2 + ab + ab = a^2 + 2ab + b^2$.

5. Поскольку оба метода вычисления площади большого квадрата должны давать один и тот же результат, мы можем приравнять полученные выражения: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Ответ: Площадь большого квадрата со стороной $(a+b)$ равна $(a+b)^2$. Эта же площадь равна сумме площадей четырех фигур, на которые он разделен: квадрата со стороной $a$ (площадь $a^2$), квадрата со стороной $b$ (площадь $b^2$) и двух прямоугольников со сторонами $a$ и $b$ (каждый площадью $ab$). Следовательно, $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + ab + ab = a^2 + 2ab + b^2$.

Доказательство формулы квадрата разности (Рис. 6)

Формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ можно доказать с помощью рисунка 6.

1. Рассмотрим большой квадрат со стороной $a$. Его общая площадь равна $S_{общ} = a^2$.

2. Наша цель — найти площадь квадрата в левом верхнем углу. Его сторона равна разности отрезков $a$ и $b$, то есть $a-b$. Соответственно, его площадь равна $(a-b)^2$.

3. Чтобы найти эту площадь, мы можем из площади большого квадрата ($a^2$) вычесть площади "лишних" частей. Эти части образуют L-образную фигуру (гномон).

4. Представим, что мы вычитаем из большого квадрата два больших прямоугольника со сторонами $a$ и $b$. Первый — это вертикальная полоса справа (площадь $a \times b = ab$). Второй — это горизонтальная полоса снизу (площадь $a \times b = ab$).

5. Вычитая эти два прямоугольника из площади $a^2$, мы получаем $a^2 - ab - ab = a^2 - 2ab$.

6. Однако, при таком вычитании маленький квадрат в правом нижнем углу (со стороной $b$ и площадью $b^2$) был вычтен дважды, так как он является частью и вертикального, и горизонтального прямоугольника. Чтобы скорректировать это, необходимо один раз прибавить его площадь обратно.

7. Таким образом, площадь искомого квадрата со стороной $(a-b)$ равна: $a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Ответ: Площадь квадрата со стороной $(a-b)$ можно найти, если из площади большого квадрата со стороной $a$ (площадь $a^2$) вычесть площади двух прямоугольников со сторонами $a$ и $b$ (каждый площадью $ab$). При этом маленький квадрат со стороной $b$ (площадь $b^2$) вычитается дважды, поэтому его площадь нужно прибавить один раз. В итоге получаем: $(a-b)^2 = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

729. Чему равен остаток при делении квадрата нечётного натурального числа на 8?

Пусть $n$ — произвольное нечётное натуральное число. Любое нечётное число можно представить в виде $n = 2k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k \in \{0, 1, 2, \dots\}$).

Найдём квадрат этого числа, возведя выражение в квадрат: $n^2 = (2k + 1)^2$

Раскроем скобки, используя формулу сокращённого умножения для квадрата суммы: $n^2 = (2k)^2 + 2 \cdot 2k \cdot 1 + 1^2 = 4k^2 + 4k + 1$

В первых двух слагаемых вынесем за скобки общий множитель $4k$: $n^2 = 4k(k + 1) + 1$

Рассмотрим множитель $k(k + 1)$. Это произведение двух последовательных целых чисел. Одно из двух последовательных чисел всегда чётное, поэтому их произведение $k(k + 1)$ всегда делится на 2. Следовательно, его можно представить в виде $2m$, где $m$ — некоторое целое число.

Подставим $2m$ вместо $k(k + 1)$ в наше выражение для $n^2$: $n^2 = 4 \cdot (2m) + 1 = 8m + 1$

Выражение $n^2 = 8m + 1$ по определению деления с остатком означает, что при делении квадрата нечётного числа $n^2$ на 8 получается частное, равное $m$, и остаток, равный 1.

Ответ: 1

730. Докажите, что если остаток при делении натурального числа на 16 равен 4, то квадрат этого числа делится нацело на 16.

Пусть $n$ — натуральное число. Согласно условию задачи, остаток при делении числа $n$ на 16 равен 4. Используя теорему о делении с остатком, это означает, что число $n$ можно представить в виде: $n = 16k + 4$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число (неполное частное).

Теперь необходимо найти квадрат этого числа, $n^2$, и доказать, что он делится на 16 нацело. Возведем в квадрат обе части равенства: $n^2 = (16k + 4)^2$

Для раскрытия скобок воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. $n^2 = (16k)^2 + 2 \cdot 16k \cdot 4 + 4^2$ $n^2 = 256k^2 + 128k + 16$

Чтобы доказать делимость выражения $256k^2 + 128k + 16$ на 16, вынесем общий множитель 16 за скобки. Каждое слагаемое в этой сумме кратно 16: $256k^2 = 16 \cdot (16k^2)$ $128k = 16 \cdot (8k)$ $16 = 16 \cdot 1$

Вынесем 16 за скобки: $n^2 = 16(16k^2 + 8k + 1)$

Поскольку $k$ является целым числом, то и выражение в скобках, $16k^2 + 8k + 1$, также является целым числом. Если мы обозначим это целое число буквой $m$, то есть $m = 16k^2 + 8k + 1$, то мы получаем, что $n^2 = 16m$. Это по определению означает, что $n^2$ делится на 16 без остатка, что и требовалось доказать.

Ответ: Если натуральное число $n$ при делении на 16 дает в остатке 4, его можно записать как $n = 16k + 4$ для некоторого целого неотрицательного $k$. Тогда его квадрат $n^2 = (16k + 4)^2 = 256k^2 + 128k + 16 = 16(16k^2 + 8k + 1)$. Поскольку $k$ — целое число, выражение $16k^2 + 8k + 1$ также является целым. Следовательно, $n^2$ является произведением 16 и целого числа, а значит, делится нацело на 16.

731. Докажите, что если остаток при делении натурального числа на 25 равен 5, то квадрат этого числа кратен 25.

Пусть $n$ — натуральное число, о котором говорится в условии. Тот факт, что при делении $n$ на 25 остаток равен 5, можно записать с помощью формулы деления с остатком:

$n = 25k + 5$

где $k$ — это частное от деления, являющееся целым неотрицательным числом (т.е. $k = 0, 1, 2, ...$).

Требуется доказать, что квадрат этого числа, $n^2$, кратен 25. Для этого возведем в квадрат выражение для $n$:

$n^2 = (25k + 5)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$n^2 = (25k)^2 + 2 \cdot 25k \cdot 5 + 5^2$

Выполним вычисления:

$n^2 = 625k^2 + 250k + 25$

Чтобы проверить, кратно ли это выражение 25, вынесем общий множитель 25 за скобки:

$n^2 = 25 \cdot (25k^2) + 25 \cdot (10k) + 25 \cdot 1$

$n^2 = 25 \cdot (25k^2 + 10k + 1)$

Поскольку $k$ является целым числом, то и выражение в скобках $(25k^2 + 10k + 1)$ также является целым числом. Таким образом, число $n^2$ можно представить как произведение 25 на целое число, что по определению означает, что $n^2$ кратно 25 (делится на 25 без остатка). Что и требовалось доказать.

Ответ: Если натуральное число $n$ при делении на 25 дает в остатке 5, его можно записать как $n = 25k + 5$. Тогда его квадрат равен $n^2 = (25k + 5)^2 = 625k^2 + 250k + 25 = 25(25k^2 + 10k + 1)$. Так как выражение в скобках является целым числом, то $n^2$ всегда делится на 25.

732. Остаток при делении некоторого натурального числа на 9 равен 5.

Чему равен остаток при делении на 9 квадрата этого числа?

Пусть $n$ — это некоторое натуральное число. По условию задачи, остаток при делении числа $n$ на 9 равен 5.

Это означает, что число $n$ можно представить в виде: $n = 9k + 5$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число (неполное частное).

Нам необходимо найти остаток от деления на 9 квадрата этого числа, то есть $n^2$. Для этого возведем в квадрат выражение для $n$: $n^2 = (9k + 5)^2$

Используем формулу сокращенного умножения для квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $n^2 = (9k)^2 + 2 \cdot (9k) \cdot 5 + 5^2$ $n^2 = 81k^2 + 90k + 25$

Чтобы найти остаток от деления $n^2$ на 9, проанализируем полученное выражение. Первые два слагаемых, $81k^2$ и $90k$, делятся на 9 без остатка, так как их коэффициенты (81 и 90) кратны 9. $81k^2 + 90k = 9 \cdot (9k^2) + 9 \cdot (10k) = 9 \cdot (9k^2 + 10k)$

Таким образом, выражение для $n^2$ можно переписать так: $n^2 = 9 \cdot (9k^2 + 10k) + 25$

Из этого вида следует, что остаток от деления $n^2$ на 9 будет таким же, как остаток от деления 25 на 9.

Найдем остаток от деления 25 на 9: $25 = 9 \cdot 2 + 7$ Здесь 2 — это неполное частное, а 7 — остаток.

Подставим это в выражение для $n^2$: $n^2 = 9 \cdot (9k^2 + 10k) + (9 \cdot 2 + 7)$ $n^2 = 9 \cdot (9k^2 + 10k + 2) + 7$

Полученное выражение показывает, что при делении $n^2$ на 9 получается неполное частное $(9k^2 + 10k + 2)$ и остаток 7.

Ответ: 7

733. Остаток при делении некоторого натурального числа на 11 равен 6.

Чему равен остаток при делении на 11 квадрата этого числа?

Пусть $n$ — это некоторое натуральное число. Согласно условию задачи, остаток при делении этого числа на 11 равен 6. Это означает, что число $n$ можно представить в виде:
$n = 11k + 6$
где $k$ — это частное от деления (некоторое целое неотрицательное число).

Теперь нам нужно найти остаток при делении на 11 квадрата этого числа, то есть $n^2$. Для этого возведем в квадрат выражение для $n$:
$n^2 = (11k + 6)^2$
Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$n^2 = (11k)^2 + 2 \cdot (11k) \cdot 6 + 6^2$
$n^2 = 121k^2 + 132k + 36$

Чтобы найти остаток от деления $n^2$ на 11, проанализируем полученное выражение. Первые два слагаемых, $121k^2$ и $132k$, делятся на 11 без остатка, так как $121 = 11 \cdot 11$ и $132 = 11 \cdot 12$. Мы можем вынести 11 за скобки:
$n^2 = 11 \cdot (11k^2) + 11 \cdot (12k) + 36 = 11(11k^2 + 12k) + 36$

Из этого выражения видно, что остаток от деления $n^2$ на 11 будет таким же, как и остаток от деления числа 36 на 11.
Выполним деление 36 на 11 с остатком:
$36 = 3 \cdot 11 + 3$
Остаток от этого деления равен 3.

Таким образом, мы можем переписать выражение для $n^2$:
$n^2 = 11(11k^2 + 12k) + (3 \cdot 11 + 3) = 11(11k^2 + 12k + 3) + 3$
Это выражение имеет вид $11q + r$, где частное $q = 11k^2 + 12k + 3$, а остаток $r = 3$. Следовательно, остаток при делении квадрата исходного числа на 11 равен 3.

Ответ: 3

734. Используя формулы сокращённого умножения, представьте в виде многочлена выражение:

1) $(a+b+c)(a+b-c)$;

2) $(a+b+c)(a-b-c)$;

3) $(a+b+c+d)(a+b-c-d)$.

Для решения данных задач мы будем использовать формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. Мы сгруппируем слагаемые в скобках таким образом, чтобы можно было применить эту формулу.

1) $(a+b+c)(a+b-c)$

Сгруппируем слагаемые в скобках. Пусть $x = (a+b)$ и $y = c$. Тогда выражение можно представить в виде:

$((a+b)+c)((a+b)-c)$

Теперь применим формулу разности квадратов:

$(a+b)^2 - c^2$

Далее, раскроем скобку $(a+b)^2$ по формуле "квадрат суммы" $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$a^2 + 2ab + b^2 - c^2$

Ответ: $a^2 + 2ab + b^2 - c^2$.

2) $(a+b+c)(a-b-c)$

Сгруппируем слагаемые иначе. Заметим, что вторую скобку можно записать как $(a-(b+c))$. Тогда исходное выражение примет вид:

$(a+(b+c))(a-(b+c))$

Здесь мы можем применить формулу разности квадратов, где $x = a$ и $y = (b+c)$:

$a^2 - (b+c)^2$

Раскроем скобку $(b+c)^2$ по формуле квадрата суммы:

$a^2 - (b^2 + 2bc + c^2)$

Теперь раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри на противоположные:

$a^2 - b^2 - 2bc - c^2$

Ответ: $a^2 - b^2 - 2bc - c^2$.

3) $(a+b+c+d)(a+b-c-d)$

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

Первая скобка: $(a+b+c+d) = ((a+b)+(c+d))$

Вторая скобка: $(a+b-c-d) = ((a+b)-(c+d))$

Теперь все выражение имеет вид:

$((a+b)+(c+d))((a+b)-(c+d))$

Применяем формулу разности квадратов, где $x = (a+b)$ и $y = (c+d)$:

$(a+b)^2 - (c+d)^2$

Раскроем каждую из скобок по формуле квадрата суммы:

$(a^2 + 2ab + b^2) - (c^2 + 2cd + d^2)$

Раскрываем вторую скобку:

$a^2 + 2ab + b^2 - c^2 - 2cd - d^2$

Ответ: $a^2 + 2ab + b^2 - c^2 - 2cd - d^2$.

735. Используя формулы сокращённого умножения, представьте в виде многочлена выражение:

1) $(a - b - c)(a + b - c);$

2) $(a - b + c + d)(a - b - c - d).$

Чтобы представить выражение $(a - b - c)(a + b - c)$ в виде многочлена, сгруппируем слагаемые так, чтобы можно было применить формулу сокращенного умножения для разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Заметим, что слагаемые $a$ и $-c$ в обеих скобках имеют одинаковые знаки, а слагаемое $b$ — разные. Перегруппируем члены выражения:

$((a - c) - b)((a - c) + b)$

Теперь выражение соответствует формуле разности квадратов, где $x = (a - c)$ и $y = b$. Применив формулу, получаем:

$(a - c)^2 - b^2$

Далее, раскроем скобку $(a - c)^2$, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(a - c)^2 = a^2 - 2ac + c^2$

Подставим полученный результат обратно в выражение:

$a^2 - 2ac + c^2 - b^2$

Приведем многочлен к стандартному виду, упорядочив члены:

$a^2 - b^2 + c^2 - 2ac$

Ответ: $a^2 - b^2 + c^2 - 2ac$

Для выражения $(a - b + c + d)(a - b - c - d)$ также воспользуемся формулой разности квадратов.

Сгруппируем слагаемые. Члены $a$ и $-b$ в обеих скобках одинаковы. Группу членов $(c+d)$ в первой скобке можно рассматривать как одно слагаемое, а во второй скобке те же члены имеют противоположные знаки, что можно записать как $-(c+d)$.

Представим выражение в следующем виде:

$((a - b) + (c + d))((a - b) - (c + d))$

Это выражение является разностью квадратов, где $x = (a - b)$ и $y = (c + d)$. Применим формулу:

$(a - b)^2 - (c + d)^2$

Теперь раскроем каждую из скобок, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$(c + d)^2 = c^2 + 2cd + d^2$

Подставим раскрытые квадраты в наше выражение:

$(a^2 - 2ab + b^2) - (c^2 + 2cd + d^2)$

Раскроем вторые скобки, поменяв знаки всех членов внутри на противоположные:

$a^2 - 2ab + b^2 - c^2 - 2cd - d^2$

Упорядочим члены для записи ответа:

$a^2 + b^2 - c^2 - d^2 - 2ab - 2cd$

Ответ: $a^2 + b^2 - c^2 - d^2 - 2ab - 2cd$

736. При каком значении $a$ уравнение $(6x - a)^2 + (8x - 3)^2 = (10x - 3)^2$ не имеет корней?

Чтобы найти значение параметра $a$, при котором данное уравнение не имеет корней, мы должны сначала упростить это уравнение. Раскроем все скобки, используя формулу квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Исходное уравнение:

$ (6x - a)^2 + (8x - 3)^2 = (10x - 3)^2 $

Раскрываем квадраты двучленов в левой и правой частях уравнения:

$ ( (6x)^2 - 2 \cdot 6x \cdot a + a^2 ) + ( (8x)^2 - 2 \cdot 8x \cdot 3 + 3^2 ) = (10x)^2 - 2 \cdot 10x \cdot 3 + 3^2 $

$ (36x^2 - 12ax + a^2) + (64x^2 - 48x + 9) = 100x^2 - 60x + 9 $

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$ (36x^2 + 64x^2) + (-12ax - 48x) + (a^2 + 9) = 100x^2 - 60x + 9 $

$ 100x^2 - (12a + 48)x + a^2 + 9 = 100x^2 - 60x + 9 $

Теперь перенесем все слагаемые из правой части в левую. Заметим, что слагаемые $100x^2$ и $9$ присутствуют в обеих частях уравнения, поэтому они взаимно уничтожаются при переносе:

$ 100x^2 - (12a + 48)x + a^2 + 9 - 100x^2 + 60x - 9 = 0 $

$ -(12a + 48)x + 60x + a^2 = 0 $

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$ (60 - (12a + 48))x + a^2 = 0 $

Раскроем внутренние скобки:

$ (60 - 12a - 48)x + a^2 = 0 $

$ (12 - 12a)x + a^2 = 0 $

Мы получили линейное уравнение вида $Bx + C = 0$, где коэффициент при $x$ равен $B = 12 - 12a$, а свободный член равен $C = a^2$.

Линейное уравнение не имеет корней (решений) тогда и только тогда, когда коэффициент при переменной $x$ равен нулю, а свободный член отличен от нуля. То есть, должна выполняться система условий:

$ \begin{cases} B = 0 \\ C \neq 0 \end{cases} $

Подставим наши выражения для $B$ и $C$:

$ \begin{cases} 12 - 12a = 0 \\ a^2 \neq 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение системы, чтобы найти возможное значение $a$:

$ 12 - 12a = 0 $

$ 12 = 12a $

$ a = 1 $

Проверим, выполняется ли второе условие ($a^2 \neq 0$) при найденном значении $a=1$:

$ 1^2 \neq 0 $

$ 1 \neq 0 $

Неравенство верно. Таким образом, при $a=1$ уравнение принимает вид $0 \cdot x + 1^2 = 0$, или $1=0$, что является ложным равенством и не имеет решений относительно $x$.

Ответ: $a=1$.

737. При каком значении $a$ уравнение $(2a - 3x)^2 + (x - 1)^2 = 10(x - 2)(x + 2)$ не имеет корней?

Для того чтобы найти значение параметра a, при котором уравнение не имеет корней, необходимо преобразовать данное уравнение, раскрыв все скобки и приведя подобные слагаемые.

Исходное уравнение:$(2a - 3x)^2 + (x - 1)^2 = 10(x - 2)(x + 2)$

Воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом разности $(b - c)^2 = b^2 - 2bc + c^2$ и разностью квадратов $(b - c)(b + c) = b^2 - c^2$. Раскроем скобки в левой и правой частях уравнения.

Левая часть:$(2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 3x + (3x)^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = 4a^2 - 12ax + 9x^2 + x^2 - 2x + 1$

Правая часть:$10(x^2 - 2^2) = 10(x^2 - 4) = 10x^2 - 40$

Теперь приравняем преобразованные части и соберем все слагаемые в левой части:

$4a^2 - 12ax + 9x^2 + x^2 - 2x + 1 = 10x^2 - 40$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(9x^2 + x^2 - 10x^2) + (-12ax - 2x) + (4a^2 + 1 + 40) = 0$

Упростим выражение:

$0 \cdot x^2 - (12a + 2)x + (4a^2 + 41) = 0$

В результате преобразований мы получили линейное уравнение вида $Bx + C = 0$, где коэффициент при x равен $B = -(12a + 2)$, а свободный член равен $C = 4a^2 + 41$.

Линейное уравнение не имеет корней тогда и только тогда, когда коэффициент при переменной x равен нулю, а свободный член отличен от нуля. То есть, должны выполняться следующие условия:

$B = 0$ и $C \neq 0$

Найдем значение a, при котором коэффициент $B$ обращается в ноль:

$-(12a + 2) = 0$
$12a + 2 = 0$
$12a = -2$
$a = -\frac{2}{12}$
$a = -\frac{1}{6}$

Теперь подставим найденное значение $a = -\frac{1}{6}$ в выражение для свободного члена $C$, чтобы убедиться, что он не равен нулю:

$C = 4a^2 + 41 = 4\left(-\frac{1}{6}\right)^2 + 41 = 4\left(\frac{1}{36}\right) + 41 = \frac{4}{36} + 41 = \frac{1}{9} + 41$
Поскольку $41\frac{1}{9} \neq 0$, условие выполняется.

Таким образом, при $a = -\frac{1}{6}$ исходное уравнение превращается в неверное равенство $0 \cdot x + 41\frac{1}{9} = 0$, которое не имеет решений.

Ответ: $a = -\frac{1}{6}$.