Номер 731, страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 731, страница 125.

Условие.

731. Докажите, что если остаток при делении натурального числа на 25 равен 5, то квадрат этого числа кратен 25.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть $n$ — натуральное число, о котором говорится в условии. Тот факт, что при делении $n$ на 25 остаток равен 5, можно записать с помощью формулы деления с остатком:

$n = 25k + 5$

где $k$ — это частное от деления, являющееся целым неотрицательным числом (т.е. $k = 0, 1, 2, ...$).

Требуется доказать, что квадрат этого числа, $n^2$, кратен 25. Для этого возведем в квадрат выражение для $n$:

$n^2 = (25k + 5)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$n^2 = (25k)^2 + 2 \cdot 25k \cdot 5 + 5^2$

Выполним вычисления:

$n^2 = 625k^2 + 250k + 25$

Чтобы проверить, кратно ли это выражение 25, вынесем общий множитель 25 за скобки:

$n^2 = 25 \cdot (25k^2) + 25 \cdot (10k) + 25 \cdot 1$

$n^2 = 25 \cdot (25k^2 + 10k + 1)$

Поскольку $k$ является целым числом, то и выражение в скобках $(25k^2 + 10k + 1)$ также является целым числом. Таким образом, число $n^2$ можно представить как произведение 25 на целое число, что по определению означает, что $n^2$ кратно 25 (делится на 25 без остатка). Что и требовалось доказать.

Ответ: Если натуральное число $n$ при делении на 25 дает в остатке 5, его можно записать как $n = 25k + 5$. Тогда его квадрат равен $n^2 = (25k + 5)^2 = 625k^2 + 250k + 25 = 25(25k^2 + 10k + 1)$. Так как выражение в скобках является целым числом, то $n^2$ всегда делится на 25.