Номер 735, страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 735, страница 125.

Условие.

735. Используя формулы сокращённого умножения, представьте в виде многочлена выражение:

1) $(a - b - c)(a + b - c);$

2) $(a - b + c + d)(a - b - c - d).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Чтобы представить выражение $(a - b - c)(a + b - c)$ в виде многочлена, сгруппируем слагаемые так, чтобы можно было применить формулу сокращенного умножения для разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Заметим, что слагаемые $a$ и $-c$ в обеих скобках имеют одинаковые знаки, а слагаемое $b$ — разные. Перегруппируем члены выражения:

$((a - c) - b)((a - c) + b)$

Теперь выражение соответствует формуле разности квадратов, где $x = (a - c)$ и $y = b$. Применив формулу, получаем:

$(a - c)^2 - b^2$

Далее, раскроем скобку $(a - c)^2$, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(a - c)^2 = a^2 - 2ac + c^2$

Подставим полученный результат обратно в выражение:

$a^2 - 2ac + c^2 - b^2$

Приведем многочлен к стандартному виду, упорядочив члены:

$a^2 - b^2 + c^2 - 2ac$

Ответ: $a^2 - b^2 + c^2 - 2ac$

2)

Для выражения $(a - b + c + d)(a - b - c - d)$ также воспользуемся формулой разности квадратов.

Сгруппируем слагаемые. Члены $a$ и $-b$ в обеих скобках одинаковы. Группу членов $(c+d)$ в первой скобке можно рассматривать как одно слагаемое, а во второй скобке те же члены имеют противоположные знаки, что можно записать как $-(c+d)$.

Представим выражение в следующем виде:

$((a - b) + (c + d))((a - b) - (c + d))$

Это выражение является разностью квадратов, где $x = (a - b)$ и $y = (c + d)$. Применим формулу:

$(a - b)^2 - (c + d)^2$

Теперь раскроем каждую из скобок, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$(c + d)^2 = c^2 + 2cd + d^2$

Подставим раскрытые квадраты в наше выражение:

$(a^2 - 2ab + b^2) - (c^2 + 2cd + d^2)$

Раскроем вторые скобки, поменяв знаки всех членов внутри на противоположные:

$a^2 - 2ab + b^2 - c^2 - 2cd - d^2$

Упорядочим члены для записи ответа:

$a^2 + b^2 - c^2 - d^2 - 2ab - 2cd$

Ответ: $a^2 + b^2 - c^2 - d^2 - 2ab - 2cd$