Номер 738, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 738, страница 126.

Условие.

738. Докажите тождество:

$(2n + 1)^2 + (2n^2 + 2n)^2 = (2n^2 + 2n + 1)^2$

Данное тождество использовалось великим древнегреческим учёным Пифагором (VI в. до н. э.) для вычисления целочисленных значений длин сторон прямоугольного треугольника. При одних и тех же натуральных значениях n значения выражений $2n + 1$; $2n^2 + 2n$; $2n^2 + 2n + 1$ являются длинами сторон прямоугольного треугольника.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства данного тождества необходимо показать, что его левая и правая части равны при любых значениях переменной $n$. Для этого преобразуем обе части тождества, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

1. Преобразуем левую часть тождества:

Левая часть (ЛЧ) имеет вид: $(2n + 1)^2 + (2n^2 + 2n)^2$.

Воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ для каждого слагаемого:

$(2n + 1)^2 = (2n)^2 + 2 \cdot 2n \cdot 1 + 1^2 = 4n^2 + 4n + 1$

$(2n^2 + 2n)^2 = (2n^2)^2 + 2 \cdot 2n^2 \cdot 2n + (2n)^2 = 4n^4 + 8n^3 + 4n^2$

Теперь сложим полученные выражения:

ЛЧ = $(4n^2 + 4n + 1) + (4n^4 + 8n^3 + 4n^2)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

ЛЧ = $4n^4 + 8n^3 + (4n^2 + 4n^2) + 4n + 1 = 4n^4 + 8n^3 + 8n^2 + 4n + 1$

2. Преобразуем правую часть тождества:

Правая часть (ПЧ) имеет вид: $(2n^2 + 2n + 1)^2$.

Чтобы раскрыть скобки, сгруппируем слагаемые как $((2n^2 + 2n) + 1)$ и снова применим формулу квадрата суммы:

ПЧ = $((2n^2 + 2n) + 1)^2 = (2n^2 + 2n)^2 + 2 \cdot (2n^2 + 2n) \cdot 1 + 1^2$

Раскроем скобки и выполним умножение:

ПЧ = $(4n^4 + 8n^3 + 4n^2) + (4n^2 + 4n) + 1$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

ПЧ = $4n^4 + 8n^3 + (4n^2 + 4n^2) + 4n + 1 = 4n^4 + 8n^3 + 8n^2 + 4n + 1$

3. Сравнение результатов:

В результате преобразований мы получили:

Левая часть: $4n^4 + 8n^3 + 8n^2 + 4n + 1$

Правая часть: $4n^4 + 8n^3 + 8n^2 + 4n + 1$

Поскольку левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению, тождество доказано.

Ответ: Тождество $(2n + 1)^2 + (2n^2 + 2n)^2 = (2n^2 + 2n + 1)^2$ доказано, так как обе части уравнения после алгебраических преобразований приводятся к многочлену $4n^4 + 8n^3 + 8n^2 + 4n + 1$.