Номер 740, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 740, страница 126.

Условие.

$ - (an - bm) + (an - cm) + (bn - cn)? $

740. Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может являться квадратом натурального числа.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства утверждения воспользуемся методом от противного.

Обозначим пять последовательных натуральных чисел через $n-2$, $n-1$, $n$, $n+1$, $n+2$. Чтобы все эти числа были натуральными, необходимо, чтобы наименьшее из них было не меньше 1, то есть $n-2 \ge 1$, откуда $n \ge 3$.

Теперь найдем сумму их квадратов, которую обозначим как $S$: $S = (n-2)^2 + (n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $S = (n^2 - 4n + 4) + (n^2 - 2n + 1) + n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4)$
$S = 5n^2 + (-4n - 2n + 2n + 4n) + (4 + 1 + 1 + 4)$
$S = 5n^2 + 10$.

Вынесем общий множитель 5 за скобки: $S = 5(n^2 + 2)$.

Теперь предположим, что $S$ является квадратом некоторого натурального числа $k$. Это означает, что $S = k^2$. Получаем уравнение: $k^2 = 5(n^2 + 2)$.

Из этого уравнения видно, что $k^2$ делится на 5. Поскольку 5 является простым числом, то если квадрат числа делится на 5, то и само число должно делиться на 5. Следовательно, $k$ можно представить в виде $k = 5m$, где $m$ — некоторое натуральное число.

Подставим $k=5m$ в наше уравнение: $(5m)^2 = 5(n^2 + 2)$
$25m^2 = 5(n^2 + 2)$.

Разделим обе части уравнения на 5: $5m^2 = n^2 + 2$.

Из последнего равенства следует, что выражение $n^2 + 2$ должно делиться на 5. Рассмотрим это, используя сравнения по модулю 5. Условие $n^2 + 2$ делится на 5 можно записать как: $n^2 + 2 \equiv 0 \pmod{5}$,
что эквивалентно: $n^2 \equiv -2 \pmod{5}$ или $n^2 \equiv 3 \pmod{5}$.

Теперь проверим, какие остатки может давать квадрат натурального числа при делении на 5. Любое число $n$ при делении на 5 может давать один из следующих остатков: 0, 1, 2, 3, 4. Возведем эти остатки в квадрат:
- если $n \equiv 0 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{5}$;
- если $n \equiv 1 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{5}$;
- если $n \equiv 2 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \pmod{5}$;
- если $n \equiv 3 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 3^2 = 9 \equiv 4 \pmod{5}$;
- если $n \equiv 4 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 4^2 = 16 \equiv 1 \pmod{5}$.

Таким образом, квадрат любого натурального числа при делении на 5 может иметь в остатке только 0, 1 или 4.

Мы же пришли к выводу, что для выполнения нашего предположения необходимо, чтобы $n^2$ при делении на 5 давало в остатке 3. Это невозможно. Мы получили противоречие.

Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел может быть квадратом натурального числа, является ложным.

Ответ: Сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может являться квадратом натурального числа, что и требовалось доказать.