Номер 734, страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 734, страница 125.

Условие.

734. Используя формулы сокращённого умножения, представьте в виде многочлена выражение:

1) $(a+b+c)(a+b-c)$;

2) $(a+b+c)(a-b-c)$;

3) $(a+b+c+d)(a+b-c-d)$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данных задач мы будем использовать формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. Мы сгруппируем слагаемые в скобках таким образом, чтобы можно было применить эту формулу.

1) $(a+b+c)(a+b-c)$

Сгруппируем слагаемые в скобках. Пусть $x = (a+b)$ и $y = c$. Тогда выражение можно представить в виде:

$((a+b)+c)((a+b)-c)$

Теперь применим формулу разности квадратов:

$(a+b)^2 - c^2$

Далее, раскроем скобку $(a+b)^2$ по формуле "квадрат суммы" $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$a^2 + 2ab + b^2 - c^2$

Ответ: $a^2 + 2ab + b^2 - c^2$.

2) $(a+b+c)(a-b-c)$

Сгруппируем слагаемые иначе. Заметим, что вторую скобку можно записать как $(a-(b+c))$. Тогда исходное выражение примет вид:

$(a+(b+c))(a-(b+c))$

Здесь мы можем применить формулу разности квадратов, где $x = a$ и $y = (b+c)$:

$a^2 - (b+c)^2$

Раскроем скобку $(b+c)^2$ по формуле квадрата суммы:

$a^2 - (b^2 + 2bc + c^2)$

Теперь раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри на противоположные:

$a^2 - b^2 - 2bc - c^2$

Ответ: $a^2 - b^2 - 2bc - c^2$.

3) $(a+b+c+d)(a+b-c-d)$

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

Первая скобка: $(a+b+c+d) = ((a+b)+(c+d))$

Вторая скобка: $(a+b-c-d) = ((a+b)-(c+d))$

Теперь все выражение имеет вид:

$((a+b)+(c+d))((a+b)-(c+d))$

Применяем формулу разности квадратов, где $x = (a+b)$ и $y = (c+d)$:

$(a+b)^2 - (c+d)^2$

Раскроем каждую из скобок по формуле квадрата суммы:

$(a^2 + 2ab + b^2) - (c^2 + 2cd + d^2)$

Раскрываем вторую скобку:

$a^2 + 2ab + b^2 - c^2 - 2cd - d^2$

Ответ: $a^2 + 2ab + b^2 - c^2 - 2cd - d^2$.