Номер 727, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 727, страница 124.

Условие.

727. Докажите формулу квадрата трёхчлена: $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac.$

Пользуясь этой формулой, преобразуйте в многочлен выражение:

1) $(a + b - c)^2;$

2) $(a - b + 4)^2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Доказательство формулы квадрата трёхчлена:
Чтобы доказать формулу $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$, можно сгруппировать слагаемые и применить формулу квадрата суммы двух выражений $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.
Представим трёхчлен $(a+b+c)$ как сумму двух слагаемых, где первое слагаемое — это $(a+b)$, а второе — $c$:
$(a+b+c)^2 = ((a+b)+c)^2$
Применим формулу квадрата суммы, где $x=(a+b)$ и $y=c$:
$((a+b)+c)^2 = (a+b)^2 + 2(a+b)c + c^2$
Теперь раскроем скобки. Сначала возведём в квадрат двучлен $(a+b)$:
$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
Затем раскроем второе слагаемое $2(a+b)c$:
$2(a+b)c = 2ac+2bc$
Подставим полученные выражения обратно в формулу:
$(a^2+2ab+b^2) + (2ac+2bc) + c^2$
Перегруппируем слагаемые, чтобы получить стандартный вид многочлена:
$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$
Таким образом, формула доказана.

1)
Преобразуем выражение $(a+b-c)^2$ в многочлен, используя доказанную формулу. Для этого представим выражение в виде $(a+b+(-c))^2$.
В формуле $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz$ заменим $x$ на $a$, $y$ на $b$ и $z$ на $-c$:
$(a+b+(-c))^2 = a^2 + b^2 + (-c)^2 + 2(a)(b) + 2(b)(-c) + 2(a)(-c)$
Выполним вычисления:
$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ac$
Ответ: $a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc$

2)
Преобразуем выражение $(a-b+4)^2$ в многочлен. Представим его в виде $(a+(-b)+4)^2$.
В формуле $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz$ заменим $x$ на $a$, $y$ на $-b$ и $z$ на $4$:
$(a+(-b)+4)^2 = a^2 + (-b)^2 + 4^2 + 2(a)(-b) + 2(-b)(4) + 2(a)(4)$
Выполним вычисления:
$a^2 + b^2 + 16 - 2ab - 8b + 8a$
Ответ: $a^2+b^2+16-2ab+8a-8b$