Номер 722, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 722, страница 124.

Условие.

722. Докажите, что значение выражения $ (x-3)^2+(x+3)^2-2(x-6)(x+6) $ не зависит от значения переменной $x$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $x$, необходимо упростить данное выражение. Если в результате упрощения переменная $x$ исчезнет и останется только числовое значение (константа), то утверждение будет доказано.

Исходное выражение: $(x-3)^2 + (x+3)^2 - 2(x-6)(x+6)$.

Для упрощения этого выражения мы будем использовать формулы сокращенного умножения:

1. Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

2. Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

3. Разность квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Применим эти формулы к соответствующим частям нашего выражения:

Для $(x-3)^2$ используем формулу квадрата разности:

$(x-3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$.

Для $(x+3)^2$ используем формулу квадрата суммы:

$(x+3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$.

Для $(x-6)(x+6)$ используем формулу разности квадратов:

$(x-6)(x+6) = x^2 - 6^2 = x^2 - 36$.

Теперь подставим полученные раскрытые выражения обратно в исходное:

$(x^2 - 6x + 9) + (x^2 + 6x + 9) - 2(x^2 - 36)$

Раскроем скобки и выполним умножение:

$x^2 - 6x + 9 + x^2 + 6x + 9 - 2 \cdot x^2 - 2 \cdot (-36)$

$x^2 - 6x + 9 + x^2 + 6x + 9 - 2x^2 + 72$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x^2 + x^2 - 2x^2) + (-6x + 6x) + (9 + 9 + 72)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$(2x^2 - 2x^2) + 0 + (18 + 72)$

$0 + 0 + 90 = 90$

В результате упрощения мы получили число 90. Так как итоговое значение является константой и не содержит переменную $x$, мы доказали, что значение исходного выражения не зависит от значения переменной $x$.

Ответ: Значение выражения равно 90 при любом $x$, что и требовалось доказать.