Номер 724, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 724, страница 124.

Условие.

724. Каким числом, чётным или нечётным, является квадрат нечётного натурального числа?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим общее представление нечётного натурального числа.

Любое нечётное натуральное число n можно записать в виде $n = 2k + 1$, где k — любое целое неотрицательное число (то есть $k = 0, 1, 2, ...$). Например, при $k=0$ получаем $n=1$, при $k=1$ получаем $n=3$, при $k=2$ получаем $n=5$, и так далее.

Теперь возведём это число в квадрат:
$n^2 = (2k + 1)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(2k + 1)^2 = (2k)^2 + 2 \cdot (2k) \cdot 1 + 1^2 = 4k^2 + 4k + 1$

Проанализируем полученное выражение $4k^2 + 4k + 1$. Первые два слагаемых, $4k^2$ и $4k$, делятся на 2, поэтому их сумма также делится на 2. Вынесем 2 за скобки:
$4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$

Пусть $m = 2k^2 + 2k$. Поскольку k — целое число, то $m$ также является целым числом. Таким образом, квадрат нечётного числа можно представить в виде $2m + 1$.

Число вида $2m + 1$ по определению является нечётным, так как оно не делится нацело на 2 (даёт остаток 1 при делении на 2).

Следовательно, квадрат нечётного натурального числа всегда является нечётным числом.

Например:
$3^2 = 9$ (нечётное)
$5^2 = 25$ (нечётное)
$11^2 = 121$ (нечётное)

Ответ: нечётным.