Номер 718, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 718, страница 124.

Условие.

718. Найдите четыре последовательных натуральных числа, если сумма квадратов второго и четвёртого из них на 82 больше, чем сумма квадратов первого и третьего.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Обозначим искомые четыре последовательных натуральных числа как $n$, $n+1$, $n+2$ и $n+3$, где $n$ является натуральным числом.

Согласно условию задачи, сумма квадратов второго ($n+1$) и четвёртого ($n+3$) чисел на 82 больше, чем сумма квадратов первого ($n$) и третьего ($n+2$) чисел. Составим уравнение на основе этого условия:

$(n+1)^2 + (n+3)^2 = n^2 + (n+2)^2 + 82$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 6n + 9) = n^2 + (n^2 + 4n + 4) + 82$

Приведём подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения:

$2n^2 + 8n + 10 = 2n^2 + 4n + 86$

Вычтем $2n^2$ из обеих частей уравнения, чтобы упростить его:

$8n + 10 = 4n + 86$

Перенесём слагаемые с переменной $n$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$8n - 4n = 86 - 10$

$4n = 76$

Разделим обе части на 4, чтобы найти $n$:

$n = \frac{76}{4}$

$n = 19$

Таким образом, первое число в последовательности — это 19. Теперь найдем остальные три числа:

Второе число: $19 + 1 = 20$

Третье число: $19 + 2 = 21$

Четвёртое число: $19 + 3 = 22$

Искомые числа: 19, 20, 21, 22.

Проверка

Проверим, выполняется ли условие задачи для найденных чисел.

Сумма квадратов второго и четвёртого чисел: $20^2 + 22^2 = 400 + 484 = 884$.

Сумма квадратов первого и третьего чисел: $19^2 + 21^2 = 361 + 441 = 802$.

Найдём разницу между этими суммами: $884 - 802 = 82$.

Разница равна 82, что соответствует условию задачи. Следовательно, числа найдены верно.

Ответ: 19, 20, 21, 22.