Номер 716, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 716, страница 124.

Условие.

716. Если сторону квадрата уменьшить на 8 см, то получится квадрат, площадь которого на $352 \text{ см}^2$ меньше площади данного. Найдите сторону данного квадрата.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Обозначим сторону данного (изначального) квадрата через $a$ (в сантиметрах). Тогда его площадь $S_1$ вычисляется по формуле $S_1 = a^2$.

Согласно условию, сторону квадрата уменьшили на 8 см. Длина стороны нового квадрата стала равна $(a - 8)$ см. Важно отметить, что $a$ должно быть больше 8, так как длина стороны не может быть отрицательной или нулевой.

Площадь нового, меньшего квадрата $S_2$ равна $(a - 8)^2$.

В задаче сказано, что площадь нового квадрата на 352 см² меньше площади данного. Это можно выразить уравнением:

$S_1 - S_2 = 352$

Подставим в это уравнение выражения для площадей $S_1$ и $S_2$:

$a^2 - (a - 8)^2 = 352$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ или раскроем скобки по формуле квадрата разности. Выберем второй способ:

$(a - 8)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 8 + 8^2 = a^2 - 16a + 64$

Подставим это выражение обратно в наше уравнение:

$a^2 - (a^2 - 16a + 64) = 352$

Раскроем скобки, меняя знаки слагаемых внутри на противоположные:

$a^2 - a^2 + 16a - 64 = 352$

Слагаемые $a^2$ и $-a^2$ взаимно уничтожаются:

$16a - 64 = 352$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем $-64$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$16a = 352 + 64$

$16a = 416$

Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на 16:

$a = \frac{416}{16}$

$a = 26$

Таким образом, сторона данного квадрата равна 26 см.

Проверим полученный результат:

Площадь данного квадрата: $S_1 = 26^2 = 676$ см².

Сторона нового квадрата: $26 - 8 = 18$ см.

Площадь нового квадрата: $S_2 = 18^2 = 324$ см².

Разница площадей: $S_1 - S_2 = 676 - 324 = 352$ см².

Результат проверки совпадает с условием задачи.

Ответ: 26 см.