Номер 720, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 720, страница 124.

Условие.

720. Докажите тождество:

1) $(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2);$

2) $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab;$

3) $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab;$

4) $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Чтобы доказать тождество $(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)$, преобразуем его левую часть, используя формулы квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.

Раскроем скобки в левой части выражения:

$(a + b)^2 + (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2)$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$a^2 + a^2 + 2ab - 2ab + b^2 + b^2 = 2a^2 + 2b^2$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(a^2 + b^2)$

В результате преобразования левой части мы получили выражение, идентичное правой части: $2(a^2 + b^2) = 2(a^2 + b^2)$.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Чтобы доказать тождество $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$, преобразуем его левую часть. Снова воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности.

Раскроем скобки в левой части. Важно обратить внимание на знак минус перед второй скобкой:

$(a + b)^2 - (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки слагаемых на противоположные:

$a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (2ab + 2ab) + (b^2 - b^2) = 0 + 4ab + 0 = 4ab$

В результате мы получили выражение, идентичное правой части: $4ab = 4ab$.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Чтобы доказать тождество $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$, преобразуем его правую часть.

Раскроем скобки в выражении $(a + b)^2$ по формуле квадрата суммы:

$(a + b)^2 - 2ab = (a^2 + 2ab + b^2) - 2ab$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 + 2ab - 2ab + b^2 = a^2 + b^2$

В результате преобразования правой части мы получили выражение, идентичное левой части: $a^2 + b^2 = a^2 + b^2$.

Ответ: Тождество доказано.

4)

Чтобы доказать тождество $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2$, которое известно как тождество Брахмагупты-Фибоначчи, преобразуем обе части уравнения и сравним результаты.

Сначала преобразуем левую часть, раскрыв скобки:

$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$

Теперь преобразуем правую часть. Раскроем каждый квадрат по формулам квадрата суммы и квадрата разности:

$(ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 = ((ac)^2 + 2(ac)(bd) + (bd)^2) + ((ad)^2 - 2(ad)(bc) + (bc)^2)$

Упростим полученное выражение:

$(a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2) + (a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Слагаемые $2abcd$ и $-2abcd$ взаимно уничтожаются:

$a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2$

Сравним преобразованные левую и правую части:

Левая часть: $a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$

Правая часть: $a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$

Они равны. Следовательно, тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.