Номер 717, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 717, страница 124.

Условие.

717. Найдите три последовательных натуральных числа, если удвоенный квадрат большего из них на 79 больше суммы квадратов двух других чисел.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть искомые три последовательных натуральных числа — это $n$, $n+1$ и $n+2$. Согласно условию, удвоенный квадрат большего из них, то есть $2(n+2)^2$, на 79 больше, чем сумма квадратов двух других чисел, то есть $n^2 + (n+1)^2$. Это позволяет составить следующее уравнение:

$2(n+2)^2 = n^2 + (n+1)^2 + 79$

Для решения уравнения раскроем скобки. Воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$2(n^2 + 2 \cdot n \cdot 2 + 2^2) = n^2 + (n^2 + 2 \cdot n \cdot 1 + 1^2) + 79$

$2(n^2 + 4n + 4) = n^2 + n^2 + 2n + 1 + 79$

Упростим выражение, раскрыв скобки в левой части и приведя подобные слагаемые в правой:

$2n^2 + 8n + 8 = 2n^2 + 2n + 80$

Вычтем $2n^2$ из обеих частей уравнения:

$8n + 8 = 2n + 80$

Перенесем все слагаемые с переменной $n$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$8n - 2n = 80 - 8$

$6n = 72$

Разделим обе части уравнения на 6, чтобы найти $n$:

$n = \frac{72}{6}$

$n = 12$

Мы нашли наименьшее из трех чисел. Два других последовательных числа: Второе число: $n + 1 = 12 + 1 = 13$. Третье число: $n + 2 = 12 + 2 = 14$.

Итак, искомые числа — 12, 13 и 14.

Проверим полученный результат. Удвоенный квадрат большего числа: $2 \cdot 14^2 = 2 \cdot 196 = 392$. Сумма квадратов двух других чисел: $12^2 + 13^2 = 144 + 169 = 313$. Найдем разность: $392 - 313 = 79$. Разность равна 79, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 12, 13, 14.