Номер 725, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 725, страница 124.

Условие.

725. Докажите формулу куба суммы двух выражений:

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Пользуясь этой формулой, преобразуйте в многочлен выражение:

1) $(x + 3)^3$;

2) $(2x + y)^3$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства формулы куба суммы двух выражений $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ представим куб суммы как произведение трех одинаковых скобок и последовательно выполним умножение.

$(a+b)^3 = (a+b)(a+b)(a+b) = (a+b)(a+b)^2$

Мы знаем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. Подставим ее в наше выражение:

$(a+b)^3 = (a+b)(a^2+2ab+b^2)$

Теперь раскроем скобки, умножив каждый член из первой скобки на многочлен во второй скобке:

$a(a^2+2ab+b^2) + b(a^2+2ab+b^2) = a \cdot a^2 + a \cdot 2ab + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 + b \cdot 2ab + b \cdot b^2$

Выполним умножение в каждом слагаемом:

$a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (2a^2b + a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Таким образом, мы доказали, что левая часть равна правой. Формула верна.

Ответ: Доказательство приведено выше, формула $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ является тождеством.

1) Преобразуем в многочлен выражение $(x+3)^3$, используя формулу куба суммы. В этом случае $a=x$, а $b=3$.

Подставим $x$ и $3$ в формулу $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$:

$(x+3)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3$

Теперь упростим каждый член выражения:

$x^3 + 9x^2 + 3 \cdot x \cdot 9 + 27$

Окончательно получаем:

$x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

Ответ: $x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

2) Преобразуем в многочлен выражение $(2x+y)^3$. В этом случае $a=2x$, а $b=y$.

Подставим $2x$ и $y$ в формулу $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$:

$(2x+y)^3 = (2x)^3 + 3 \cdot (2x)^2 \cdot y + 3 \cdot (2x) \cdot y^2 + y^3$

Теперь упростим каждый член выражения, помня, что при возведении произведения в степень нужно возвести в эту степень каждый множитель:

$2^3x^3 + 3 \cdot (2^2x^2) \cdot y + 6xy^2 + y^3$

$8x^3 + 3 \cdot 4x^2 \cdot y + 6xy^2 + y^3$

Окончательно получаем:

$8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3$

Ответ: $8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3$