Номер 729, страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 729, страница 125.

Условие.

729. Чему равен остаток при делении квадрата нечётного натурального числа на 8?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть $n$ — произвольное нечётное натуральное число. Любое нечётное число можно представить в виде $n = 2k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k \in \{0, 1, 2, \dots\}$).

Найдём квадрат этого числа, возведя выражение в квадрат: $n^2 = (2k + 1)^2$

Раскроем скобки, используя формулу сокращённого умножения для квадрата суммы: $n^2 = (2k)^2 + 2 \cdot 2k \cdot 1 + 1^2 = 4k^2 + 4k + 1$

В первых двух слагаемых вынесем за скобки общий множитель $4k$: $n^2 = 4k(k + 1) + 1$

Рассмотрим множитель $k(k + 1)$. Это произведение двух последовательных целых чисел. Одно из двух последовательных чисел всегда чётное, поэтому их произведение $k(k + 1)$ всегда делится на 2. Следовательно, его можно представить в виде $2m$, где $m$ — некоторое целое число.

Подставим $2m$ вместо $k(k + 1)$ в наше выражение для $n^2$: $n^2 = 4 \cdot (2m) + 1 = 8m + 1$

Выражение $n^2 = 8m + 1$ по определению деления с остатком означает, что при делении квадрата нечётного числа $n^2$ на 8 получается частное, равное $m$, и остаток, равный 1.

Ответ: 1