Номер 732, страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 732, страница 125.

Условие.

732. Остаток при делении некоторого натурального числа на 9 равен 5.

Чему равен остаток при делении на 9 квадрата этого числа?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть $n$ — это некоторое натуральное число. По условию задачи, остаток при делении числа $n$ на 9 равен 5.

Это означает, что число $n$ можно представить в виде: $n = 9k + 5$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число (неполное частное).

Нам необходимо найти остаток от деления на 9 квадрата этого числа, то есть $n^2$. Для этого возведем в квадрат выражение для $n$: $n^2 = (9k + 5)^2$

Используем формулу сокращенного умножения для квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $n^2 = (9k)^2 + 2 \cdot (9k) \cdot 5 + 5^2$ $n^2 = 81k^2 + 90k + 25$

Чтобы найти остаток от деления $n^2$ на 9, проанализируем полученное выражение. Первые два слагаемых, $81k^2$ и $90k$, делятся на 9 без остатка, так как их коэффициенты (81 и 90) кратны 9. $81k^2 + 90k = 9 \cdot (9k^2) + 9 \cdot (10k) = 9 \cdot (9k^2 + 10k)$

Таким образом, выражение для $n^2$ можно переписать так: $n^2 = 9 \cdot (9k^2 + 10k) + 25$

Из этого вида следует, что остаток от деления $n^2$ на 9 будет таким же, как остаток от деления 25 на 9.

Найдем остаток от деления 25 на 9: $25 = 9 \cdot 2 + 7$ Здесь 2 — это неполное частное, а 7 — остаток.

Подставим это в выражение для $n^2$: $n^2 = 9 \cdot (9k^2 + 10k) + (9 \cdot 2 + 7)$ $n^2 = 9 \cdot (9k^2 + 10k + 2) + 7$

Полученное выражение показывает, что при делении $n^2$ на 9 получается неполное частное $(9k^2 + 10k + 2)$ и остаток 7.

Ответ: 7