Номер 728, страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 728, страница 125.

Условие.

728. Древнегреческий учёный Евклид (III в. до н. э.) доказывал формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений геометрически. Пользуясь рисунками 5 и 6, восстановите его доказательство.

Рис. 5

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Рис. 6

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Доказательство формулы квадрата суммы (Рис. 5)

Древние греки доказывали формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ геометрически, используя рисунок 5.

1. Рассмотрим большой квадрат. Длина его стороны складывается из двух отрезков, $a$ и $b$. Таким образом, сторона большого квадрата равна $a+b$.

2. Площадь квадрата вычисляется как квадрат его стороны. Следовательно, площадь большого квадрата равна $S_{общ} = (a+b)^2$.

3. Этот большой квадрат разделен на четыре части. Мы можем найти его площадь как сумму площадей этих частей:

- Квадрат в левом нижнем углу со стороной $a$. Его площадь равна $a^2$.

- Квадрат в правом верхнем углу со стороной $b$. Его площадь равна $b^2$.

- Два прямоугольника: один в левом верхнем углу, другой в правом нижнем. Оба имеют стороны $a$ и $b$. Площадь каждого из них равна $ab$.

4. Сумма площадей этих четырех частей равна: $a^2 + b^2 + ab + ab = a^2 + 2ab + b^2$.

5. Поскольку оба метода вычисления площади большого квадрата должны давать один и тот же результат, мы можем приравнять полученные выражения: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Ответ: Площадь большого квадрата со стороной $(a+b)$ равна $(a+b)^2$. Эта же площадь равна сумме площадей четырех фигур, на которые он разделен: квадрата со стороной $a$ (площадь $a^2$), квадрата со стороной $b$ (площадь $b^2$) и двух прямоугольников со сторонами $a$ и $b$ (каждый площадью $ab$). Следовательно, $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + ab + ab = a^2 + 2ab + b^2$.

Доказательство формулы квадрата разности (Рис. 6)

Формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ можно доказать с помощью рисунка 6.

1. Рассмотрим большой квадрат со стороной $a$. Его общая площадь равна $S_{общ} = a^2$.

2. Наша цель — найти площадь квадрата в левом верхнем углу. Его сторона равна разности отрезков $a$ и $b$, то есть $a-b$. Соответственно, его площадь равна $(a-b)^2$.

3. Чтобы найти эту площадь, мы можем из площади большого квадрата ($a^2$) вычесть площади "лишних" частей. Эти части образуют L-образную фигуру (гномон).

4. Представим, что мы вычитаем из большого квадрата два больших прямоугольника со сторонами $a$ и $b$. Первый — это вертикальная полоса справа (площадь $a \times b = ab$). Второй — это горизонтальная полоса снизу (площадь $a \times b = ab$).

5. Вычитая эти два прямоугольника из площади $a^2$, мы получаем $a^2 - ab - ab = a^2 - 2ab$.

6. Однако, при таком вычитании маленький квадрат в правом нижнем углу (со стороной $b$ и площадью $b^2$) был вычтен дважды, так как он является частью и вертикального, и горизонтального прямоугольника. Чтобы скорректировать это, необходимо один раз прибавить его площадь обратно.

7. Таким образом, площадь искомого квадрата со стороной $(a-b)$ равна: $a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Ответ: Площадь квадрата со стороной $(a-b)$ можно найти, если из площади большого квадрата со стороной $a$ (площадь $a^2$) вычесть площади двух прямоугольников со сторонами $a$ и $b$ (каждый площадью $ab$). При этом маленький квадрат со стороной $b$ (площадь $b^2$) вычитается дважды, поэтому его площадь нужно прибавить один раз. В итоге получаем: $(a-b)^2 = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$.