Номер 736, страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 736, страница 125.

Условие.

736. При каком значении $a$ уравнение $(6x - a)^2 + (8x - 3)^2 = (10x - 3)^2$ не имеет корней?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы найти значение параметра $a$, при котором данное уравнение не имеет корней, мы должны сначала упростить это уравнение. Раскроем все скобки, используя формулу квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Исходное уравнение:

$ (6x - a)^2 + (8x - 3)^2 = (10x - 3)^2 $

Раскрываем квадраты двучленов в левой и правой частях уравнения:

$ ( (6x)^2 - 2 \cdot 6x \cdot a + a^2 ) + ( (8x)^2 - 2 \cdot 8x \cdot 3 + 3^2 ) = (10x)^2 - 2 \cdot 10x \cdot 3 + 3^2 $

$ (36x^2 - 12ax + a^2) + (64x^2 - 48x + 9) = 100x^2 - 60x + 9 $

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$ (36x^2 + 64x^2) + (-12ax - 48x) + (a^2 + 9) = 100x^2 - 60x + 9 $

$ 100x^2 - (12a + 48)x + a^2 + 9 = 100x^2 - 60x + 9 $

Теперь перенесем все слагаемые из правой части в левую. Заметим, что слагаемые $100x^2$ и $9$ присутствуют в обеих частях уравнения, поэтому они взаимно уничтожаются при переносе:

$ 100x^2 - (12a + 48)x + a^2 + 9 - 100x^2 + 60x - 9 = 0 $

$ -(12a + 48)x + 60x + a^2 = 0 $

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$ (60 - (12a + 48))x + a^2 = 0 $

Раскроем внутренние скобки:

$ (60 - 12a - 48)x + a^2 = 0 $

$ (12 - 12a)x + a^2 = 0 $

Мы получили линейное уравнение вида $Bx + C = 0$, где коэффициент при $x$ равен $B = 12 - 12a$, а свободный член равен $C = a^2$.

Линейное уравнение не имеет корней (решений) тогда и только тогда, когда коэффициент при переменной $x$ равен нулю, а свободный член отличен от нуля. То есть, должна выполняться система условий:

$ \begin{cases} B = 0 \\ C \neq 0 \end{cases} $

Подставим наши выражения для $B$ и $C$:

$ \begin{cases} 12 - 12a = 0 \\ a^2 \neq 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение системы, чтобы найти возможное значение $a$:

$ 12 - 12a = 0 $

$ 12 = 12a $

$ a = 1 $

Проверим, выполняется ли второе условие ($a^2 \neq 0$) при найденном значении $a=1$:

$ 1^2 \neq 0 $

$ 1 \neq 0 $

Неравенство верно. Таким образом, при $a=1$ уравнение принимает вид $0 \cdot x + 1^2 = 0$, или $1=0$, что является ложным равенством и не имеет решений относительно $x$.

Ответ: $a=1$.