Страница 129 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

749. Какому из данных выражений тождественно равен многочлен

$a^2 - 18a + 81:$

1) $(a-3)^2;$

2) $a-9;$

3) $(a-9)(a+9);$

4) $(a-9)^2?$

Для решения задачи необходимо определить, какое из предложенных выражений является результатом разложения на множители многочлена $a^2 - 18a + 81$.

Исходный многочлен $a^2 - 18a + 81$ представляет собой полный квадрат, который можно свернуть, используя формулу квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В данном случае:

• Первый член $a^2$ соответствует $x^2$, следовательно, $x=a$.
• Третий член $81$ соответствует $y^2$, следовательно, $y=9$.
• Второй (удвоенное произведение) $-18a$ соответствует $-2xy$, то есть $-2 \cdot a \cdot 9 = -18a$.

Так как все условия выполняются, многочлен тождественно равен $(a - 9)^2$.

Теперь проверим каждый из предложенных вариантов.

1) $(a - 3)^2$. Раскроем скобки по формуле квадрата разности: $(a - 3)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 - 6a + 9$. Это выражение не совпадает с исходным.

2) $a - 9$. Это двучлен, а исходное выражение — трехчлен второй степени. Они не могут быть тождественно равны.

3) $(a - 9)(a + 9)$. Это формула разности квадратов: $(a - 9)(a + 9) = a^2 - 9^2 = a^2 - 81$. Это выражение не совпадает с исходным.

4) $(a - 9)^2$. Раскроем скобки по формуле квадрата разности: $(a - 9)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 9 + 9^2 = a^2 - 18a + 81$. Это выражение в точности совпадает с исходным многочленом.

Ответ: 4