Страница 134 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

794. В первый день турист проехал 0,4 всего пути, во второй – $\frac{2}{3}$ оставшегося, а в третий – остальные 20 км. Найдите длину пути.

Для решения задачи обозначим всю длину пути переменной $x$ в километрах.

1. В первый день турист проехал 0,4 всего пути. Расстояние, которое он проехал в первый день, составляет $0,4x$ км.

2. Найдем оставшуюся часть пути после первого дня:$x - 0,4x = 0,6x$ км.

3. Во второй день турист проехал $\frac{2}{3}$ от этого остатка. Вычислим расстояние, пройденное во второй день:$\frac{2}{3} \times (0,6x) = \frac{2 \times 0,6}{3}x = \frac{1,2}{3}x = 0,4x$ км.

4. Теперь найдем, какая часть пути осталась на третий день. Для этого из пути, оставшегося после первого дня ($0,6x$), вычтем путь, пройденный во второй день ($0,4x$):$0,6x - 0,4x = 0,2x$ км.

5. По условию задачи, в третий день турист проехал 20 км. Мы можем приравнять это значение к выражению, которое мы получили для третьего дня:$0,2x = 20$.

6. Решим это уравнение, чтобы найти общую длину пути $x$:$x = \frac{20}{0,2}$$x = \frac{200}{2}$$x = 100$ км.

Таким образом, общая длина пути составляет 100 км.

Ответ: 100 км.

795. Общая площадь двух участков, засеянных кукурузой, равна 100 га. На первом участке собрали по 90 т зелёной массы кукурузы с 1 га, а на втором – по 80 т. Найдите площадь каждого участка, если с первого участка собрали на 2200 т больше, чем со второго.

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $x$ — площадь первого участка в гектарах (га), а $y$ — площадь второго участка в гектарах (га).

Согласно условию, общая площадь двух участков составляет 100 га. На основе этого мы можем составить первое уравнение:

$x + y = 100$

С первого участка собирали по 90 тонн зелёной массы с гектара, значит, общий урожай с этого участка равен $90x$ тонн.

Со второго участка собирали по 80 тонн с гектара, следовательно, общий урожай со второго участка составляет $80y$ тонн.

Известно, что с первого участка собрали на 2200 тонн больше, чем со второго. Это позволяет нам составить второе уравнение:

$90x - 80y = 2200$

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} x + y = 100 \\ 90x - 80y = 2200 \end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки. Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 100 - x$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение:

$90x - 80(100 - x) = 2200$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$90x - 8000 + 80x = 2200$

$170x = 2200 + 8000$

$170x = 10200$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{10200}{170} = 60$

Итак, площадь первого участка составляет 60 га.

Теперь найдем площадь второго участка, подставив значение $x$ в выражение $y = 100 - x$:

$y = 100 - 60 = 40$

Следовательно, площадь второго участка составляет 40 га.

Проверка:
Сумма площадей: $60 \text{ га} + 40 \text{ га} = 100 \text{ га}$.
Урожай с первого участка: $60 \text{ га} \cdot 90 \text{ т/га} = 5400 \text{ т}$.
Урожай со второго участка: $40 \text{ га} \cdot 80 \text{ т/га} = 3200 \text{ т}$.
Разница в урожае: $5400 \text{ т} - 3200 \text{ т} = 2200 \text{ т}$.
Все условия задачи выполняются.

Ответ: площадь первого участка равна 60 га, а площадь второго участка — 40 га.

796. Разложите на множители:

1) $2ab - 3ab^2$;

2) $8x^4 + 2x^3$;

3) $12a^2b^2 + 6a^2b^3 + 12ab^3$;

4) $2a - 2b + ac - bc$;

5) $m^2 - mn - 4m + 4n$;

6) $ax - ay + cy - cx - x + y$.

1) Чтобы разложить на множители выражение $2ab - 3ab^2$, необходимо найти общий множитель для обоих членов. В данном случае это $ab$. Вынесем его за скобки:

$2ab - 3ab^2 = ab \cdot 2 - ab \cdot 3b = ab(2 - 3b)$.

Ответ: $ab(2 - 3b)$.

2) В выражении $8x^4 + 2x^3$ найдем наибольший общий делитель (НОД). Для коэффициентов 8 и 2 НОД равен 2. Для переменных $x^4$ и $x^3$ общим множителем является $x$ в наименьшей степени, то есть $x^3$. Таким образом, общий множитель для всего выражения — $2x^3$. Вынесем его за скобки:

$8x^4 + 2x^3 = 2x^3 \cdot 4x + 2x^3 \cdot 1 = 2x^3(4x + 1)$.

Ответ: $2x^3(4x + 1)$.

3) Для выражения $12a^2b^2 + 6a^2b^3 + 12ab^3$ найдем общий множитель. НОД для коэффициентов 12, 6 и 12 равен 6. Общий множитель для переменных $a^2, a^2, a$ — это $a$. Общий множитель для $b^2, b^3, b^3$ — это $b^2$. Итак, выносим за скобки $6ab^2$:

$12a^2b^2 + 6a^2b^3 + 12ab^3 = 6ab^2 \cdot 2a + 6ab^2 \cdot ab + 6ab^2 \cdot 2b = 6ab^2(2a + ab + 2b)$.

Ответ: $6ab^2(2a + ab + 2b)$.

4) Для разложения выражения $2a - 2b + ac - bc$ на множители используем метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два:

$(2a - 2b) + (ac - bc)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$2(a - b) + c(a - b)$

Теперь общим множителем является выражение в скобках $(a - b)$. Вынесем его:

$(a - b)(2 + c)$.

Ответ: $(a - b)(2 + c)$.

5) Выражение $m^2 - mn - 4m + 4n$ также раскладываем на множители методом группировки:

$(m^2 - mn) + (-4m + 4n)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из второй группы вынесем -4, чтобы получить одинаковое выражение в скобках:

$m(m - n) - 4(m - n)$

Теперь вынесем общий множитель $(m - n)$:

$(m - n)(m - 4)$.

Ответ: $(m - n)(m - 4)$.

6) В выражении $ax - ay + cy - cx - x + y$ 6 членов. Сгруппируем их по три, например, по переменным $x$ и $y$:

$(ax - cx - x) + (-ay + cy + y)$

Вынесем из первой группы $x$, а из второй $y$. Обратим внимание на знаки, чтобы получить одинаковые скобки:

$x(a - c - 1) + y(-a + c + 1) = x(a - c - 1) - y(a - c - 1)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(a - c - 1)$:

$(a - c - 1)(x - y)$.

Ответ: $(a - c - 1)(x - y)$.

797. При некотором значении $x$ значение выражения $3x^2 - x + 7$ равно 10.

Какое значение принимает выражение $6x^2 - 2x + 7$ при этом же значении $x$?

По условию задачи, при некотором значении $x$ значение выражения $3x^2 - x + 7$ равно 10. Запишем это в виде уравнения:

$3x^2 - x + 7 = 10$

Наша цель — найти значение выражения $6x^2 - 2x + 7$ при том же значении $x$. Для этого нам не обязательно находить сам $x$. Вместо этого мы можем преобразовать выражения.

Из первого уравнения выразим значение $3x^2 - x$:

$3x^2 - x = 10 - 7$

$3x^2 - x = 3$

Теперь рассмотрим второе выражение: $6x^2 - 2x + 7$.

Заметим, что часть этого выражения $6x^2 - 2x$ очень похожа на найденное нами выражение $3x^2 - x$. Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$6x^2 - 2x = 2(3x^2 - x)$

Поскольку мы уже знаем, что $3x^2 - x = 3$, мы можем подставить это значение:

$2(3x^2 - x) = 2 \cdot 3 = 6$

Теперь подставим полученный результат обратно во второе выражение:

$6x^2 - 2x + 7 = (6x^2 - 2x) + 7 = 6 + 7 = 13$

Таким образом, при том же значении $x$ выражение $6x^2 - 2x + 7$ принимает значение 13.

Ответ: 13.

798. (Старинная болгарская задача) Семь рыбаков ловили на озере рыбу. Первый ловил рыбу ежедневно, второй – через день, третий – через 2 дня и т. д., седьмой – через 6 дней. Сегодня все рыбаки пришли на озеро. Через какое наименьшее количество дней все семь рыбаков соберутся вместе на озере?

Это задача на нахождение наименьшего общего кратного (НОК). Чтобы узнать, когда все рыбаки снова встретятся на озере, нам нужно определить интервалы, с которыми каждый из них ходит на рыбалку, и найти НОК этих интервалов.

Давайте определим периодичность посещения озера для каждого из семи рыбаков, если считать сегодняшний день, когда они все встретились, за день 0.

• Первый рыбак ловит рыбу ежедневно. Это означает, что он приходит на озеро каждый день. Интервал между его появлениями составляет 1 день.
• Второй рыбак ловит «через день». Это значит, что он пропускает один день и приходит на следующий. Если он был сегодня (день 0), то следующий раз он придет на 2-й день, затем на 4-й и так далее. Интервал составляет 2 дня.
• Третий рыбак ловит «через 2 дня». Он пропускает два дня и приходит на третий. Его график: день 0, день 3, день 6 и так далее. Интервал составляет 3 дня.
• Четвертый рыбак, по аналогии, ловит «через 3 дня». Его интервал — 4 дня.
• Пятый рыбак ловит «через 4 дня». Его интервал — 5 дней.
• Шестой рыбак ловит «через 5 дней». Его интервал — 6 дней.
• Седьмой рыбак ловит «через 6 дней». Его интервал — 7 дней.

Итак, мы получили следующие интервалы в днях: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Чтобы найти наименьшее количество дней, через которое они все снова окажутся на озере в один день, нам нужно найти наименьшее общее кратное этих чисел: $НОК(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)$.

Для вычисления НОК разложим числа на простые множители:

• $1 = 1$
• $2 = 2$
• $3 = 3$
• $4 = 2^2$
• $5 = 5$
• $6 = 2 \cdot 3$
• $7 = 7$

Теперь возьмем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножим их:

$НОК(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1$

Выполним вычисление:

$4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 12 \cdot 35 = 420$

Таким образом, все семь рыбаков снова соберутся вместе на озере через 420 дней.

Ответ: Через 420 дней.

799. Запишите в виде выражения:

1) куб суммы чисел a и b: $(a+b)^3$;

2) сумму кубов чисел a и b: $a^3 + b^3$;

3) разность кубов чисел c и d: $c^3 - d^3$;

4) куб разности чисел c и d: $(c-d)^3$.

1) куб суммы чисел a и b;
Сначала необходимо найти сумму чисел $a$ и $b$. Эта операция записывается как $(a + b)$. Затем полученную сумму нужно возвести в куб, то есть в третью степень.
Ответ: $(a + b)^3$

2) сумму кубов чисел a и b;
В этом случае сначала нужно возвести в куб каждое число по отдельности. Куб числа $a$ — это $a^3$, а куб числа $b$ — это $b^3$. После этого нужно сложить полученные результаты.
Ответ: $a^3 + b^3$

3) разность кубов чисел c и d;
Здесь мы сначала находим куб числа $c$, то есть $c^3$, и куб числа $d$, то есть $d^3$. Затем из первого результата вычитаем второй, чтобы найти их разность.
Ответ: $c^3 - d^3$

4) куб разности чисел c и d.
Сначала необходимо найти разность чисел $c$ и $d$. Эта операция записывается как $(c - d)$. Затем полученную разность нужно возвести в куб (в третью степень).
Ответ: $(c - d)^3$

800. Возведите в куб одночлен:

1) $y^2;$

2) $2x^3;$

3) $3a^2b^4;$

4) $0,1mn^5;$

5) $\frac{1}{6}b^6c^7;$

6) $\frac{2}{7}p^{10}k^{15}.

1) Чтобы возвести одночлен $y^2$ в куб, необходимо его показатель степени умножить на 3, используя правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(y^2)^3 = y^{2 \cdot 3} = y^6$.
Ответ: $y^6$.

2) Чтобы возвести одночлен $2x^3$ в куб, необходимо каждый его множитель (коэффициент 2 и переменную $x^3$) возвести в куб.
$(2x^3)^3 = 2^3 \cdot (x^3)^3$.
Вычислим значение для каждого множителя: $2^3 = 8$ и $(x^3)^3 = x^{3 \cdot 3} = x^9$.
Результат: $8x^9$.
Ответ: $8x^9$.

3) Возведем в куб одночлен $3a^2b^4$. Для этого каждый множитель возводим в куб.
$(3a^2b^4)^3 = 3^3 \cdot (a^2)^3 \cdot (b^4)^3$.
Вычисляем степени: $3^3 = 27$, $(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$ и $(b^4)^3 = b^{4 \cdot 3} = b^{12}$.
Результат: $27a^6b^{12}$.
Ответ: $27a^6b^{12}$.

4) Возведем в куб одночлен $0,1mn^5$.
Возводим каждый множитель в куб: $(0,1mn^5)^3 = (0,1)^3 \cdot m^3 \cdot (n^5)^3$.
Вычисляем степени: $(0,1)^3 = 0,001$, $m^3$ так и остается $m^3$, и $(n^5)^3 = n^{5 \cdot 3} = n^{15}$.
Результат: $0,001m^3n^{15}$.
Ответ: $0,001m^3n^{15}$.

5) Возведем в куб одночлен $\frac{1}{6}b^6c^7$.
Возводим каждый множитель в куб: $(\frac{1}{6}b^6c^7)^3 = (\frac{1}{6})^3 \cdot (b^6)^3 \cdot (c^7)^3$.
Вычисляем степени: $(\frac{1}{6})^3 = \frac{1^3}{6^3} = \frac{1}{216}$, $(b^6)^3 = b^{6 \cdot 3} = b^{18}$ и $(c^7)^3 = c^{7 \cdot 3} = c^{21}$.
Результат: $\frac{1}{216}b^{18}c^{21}$.
Ответ: $\frac{1}{216}b^{18}c^{21}$.

6) Возведем в куб одночлен $\frac{2}{7}p^{10}k^{15}$.
Возводим каждый множитель в куб: $(\frac{2}{7}p^{10}k^{15})^3 = (\frac{2}{7})^3 \cdot (p^{10})^3 \cdot (k^{15})^3$.
Вычисляем степени: $(\frac{2}{7})^3 = \frac{2^3}{7^3} = \frac{8}{343}$, $(p^{10})^3 = p^{10 \cdot 3} = p^{30}$ и $(k^{15})^3 = k^{15 \cdot 3} = k^{45}$.
Результат: $\frac{8}{343}p^{30}k^{45}$.
Ответ: $\frac{8}{343}p^{30}k^{45}$.

801. Представьте в виде куба одночлена выражение:

1) $a^3b^6;$

2) $8x^3y^9;$

3) $\frac{1}{64}c^9;$

4) $125m^{12}n^{21};$

5) $0,216k^{15}p^{24};$

6) $0,008a^9b^{18}c^{27}.$

Чтобы представить выражение в виде куба одночлена, необходимо найти такой одночлен, который при возведении в третью степень даст исходное выражение. Для этого нужно извлечь кубический корень из числового коэффициента и разделить показатель степени каждой переменной на 3. Общая формула: $k \cdot x^a \cdot y^b = (\sqrt[3]{k} \cdot x^{a/3} \cdot y^{b/3})^3$.

1) Дано выражение $a^3b^6$.
Чтобы представить его в виде куба, найдем одночлен, который нужно возвести в куб.
Для переменной $a$ показатель степени равен 3. Разделив его на 3, получаем $3 \div 3 = 1$. Значит, в искомом одночлене будет $a^1$ или просто $a$.
Для переменной $b$ показатель степени равен 6. Разделив его на 3, получаем $6 \div 3 = 2$. Значит, в искомом одночлене будет $b^2$.
Собираем одночлен: $ab^2$.
Проверим: $(ab^2)^3 = a^3 \cdot (b^2)^3 = a^3b^{2 \cdot 3} = a^3b^6$.
Следовательно, $a^3b^6 = (ab^2)^3$.
Ответ: $(ab^2)^3$.

2) Дано выражение $8x^3y^9$.
Извлекаем кубический корень из коэффициента: $\sqrt[3]{8} = 2$.
Делим показатели степеней переменных на 3:
Для $x$: $3 \div 3 = 1$.
Для $y$: $9 \div 3 = 3$.
Искомый одночлен: $2x^1y^3$ или $2xy^3$.
Проверим: $(2xy^3)^3 = 2^3 \cdot x^3 \cdot (y^3)^3 = 8x^3y^{3 \cdot 3} = 8x^3y^9$.
Следовательно, $8x^3y^9 = (2xy^3)^3$.
Ответ: $(2xy^3)^3$.

3) Дано выражение $\frac{1}{64}c^9$.
Извлекаем кубический корень из коэффициента: $\sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{64}} = \frac{1}{4}$.
Делим показатель степени переменной $c$ на 3: $9 \div 3 = 3$.
Искомый одночлен: $\frac{1}{4}c^3$.
Проверим: $(\frac{1}{4}c^3)^3 = (\frac{1}{4})^3 \cdot (c^3)^3 = \frac{1}{64}c^{3 \cdot 3} = \frac{1}{64}c^9$.
Следовательно, $\frac{1}{64}c^9 = (\frac{1}{4}c^3)^3$.
Ответ: $(\frac{1}{4}c^3)^3$.

4) Дано выражение $125m^{12}n^{21}$.
Извлекаем кубический корень из коэффициента: $\sqrt[3]{125} = 5$.
Делим показатели степеней переменных на 3:
Для $m$: $12 \div 3 = 4$.
Для $n$: $21 \div 3 = 7$.
Искомый одночлен: $5m^4n^7$.
Проверим: $(5m^4n^7)^3 = 5^3 \cdot (m^4)^3 \cdot (n^7)^3 = 125m^{4 \cdot 3}n^{7 \cdot 3} = 125m^{12}n^{21}$.
Следовательно, $125m^{12}n^{21} = (5m^4n^7)^3$.
Ответ: $(5m^4n^7)^3$.

5) Дано выражение $0,216k^{15}p^{24}$.
Извлекаем кубический корень из коэффициента: $\sqrt[3]{0,216} = \sqrt[3]{(0,6)^3} = 0,6$.
Делим показатели степеней переменных на 3:
Для $k$: $15 \div 3 = 5$.
Для $p$: $24 \div 3 = 8$.
Искомый одночлен: $0,6k^5p^8$.
Проверим: $(0,6k^5p^8)^3 = (0,6)^3 \cdot (k^5)^3 \cdot (p^8)^3 = 0,216k^{5 \cdot 3}p^{8 \cdot 3} = 0,216k^{15}p^{24}$.
Следовательно, $0,216k^{15}p^{24} = (0,6k^5p^8)^3$.
Ответ: $(0,6k^5p^8)^3$.

6) Дано выражение $0,008a^9b^{18}c^{27}$.
Извлекаем кубический корень из коэффициента: $\sqrt[3]{0,008} = \sqrt[3]{(0,2)^3} = 0,2$.
Делим показатели степеней переменных на 3:
Для $a$: $9 \div 3 = 3$.
Для $b$: $18 \div 3 = 6$.
Для $c$: $27 \div 3 = 9$.
Искомый одночлен: $0,2a^3b^6c^9$.
Проверим: $(0,2a^3b^6c^9)^3 = (0,2)^3 \cdot (a^3)^3 \cdot (b^6)^3 \cdot (c^9)^3 = 0,008a^{3 \cdot 3}b^{6 \cdot 3}c^{9 \cdot 3} = 0,008a^9b^{18}c^{27}$.
Следовательно, $0,008a^9b^{18}c^{27} = (0,2a^3b^6c^9)^3$.
Ответ: $(0,2a^3b^6c^9)^3$.

802. Можно ли натуральные числа от 1 до 32 разбить на три группы так, чтобы произведения чисел каждой группы были равны?

Предположим, что такое разбиение возможно. Пусть у нас есть три группы чисел, и произведение чисел в каждой из этих групп равно некоторому числу $P$.

Тогда произведение всех натуральных чисел от 1 до 32 будет равно произведению произведений этих трех групп.

Произведение всех чисел от 1 до 32 равно $32!$ (32 факториал).

С другой стороны, если произведение в каждой из трех групп равно $P$, то произведение всех чисел равно $P \cdot P \cdot P = P^3$.

Следовательно, должно выполняться равенство: $P^3 = 32!$

Это означает, что число $32!$ должно быть точным кубом некоторого натурального числа $P$.

Чтобы число было точным кубом, необходимо и достаточно, чтобы в его разложении на простые множители все показатели степеней были кратны 3.

Рассмотрим разложение числа $32!$ на простые множители. Найдем, в какой степени в это разложение входит простое число 31.

Среди натуральных чисел от 1 до 32 есть только одно число, которое делится на 31, — это само число 31. Других кратных 31 в этом диапазоне нет (следующее кратное — 62).

Таким образом, в разложении числа $32!$ на простые множители множитель 31 будет в первой степени. То есть, $32! = k \cdot 31^1$, где $k$ — произведение остальных сомножителей.

Показатель степени у простого множителя 31 равен 1. Число 1 не делится на 3.

Это означает, что число $32!$ не является точным кубом. Следовательно, не существует такого натурального числа $P$, что $P^3 = 32!$.

Из этого следует, что наше первоначальное предположение неверно, и разбить натуральные числа от 1 до 32 на три группы с равными произведениями невозможно.

Ответ: нет, нельзя.