Номер 801, страница 134 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 801, страница 134.

Условие.

801. Представьте в виде куба одночлена выражение:

1) $a^3b^6;$

2) $8x^3y^9;$

3) $\frac{1}{64}c^9;$

4) $125m^{12}n^{21};$

5) $0,216k^{15}p^{24};$

6) $0,008a^9b^{18}c^{27}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы представить выражение в виде куба одночлена, необходимо найти такой одночлен, который при возведении в третью степень даст исходное выражение. Для этого нужно извлечь кубический корень из числового коэффициента и разделить показатель степени каждой переменной на 3. Общая формула: $k \cdot x^a \cdot y^b = (\sqrt[3]{k} \cdot x^{a/3} \cdot y^{b/3})^3$.

1) Дано выражение $a^3b^6$.
Чтобы представить его в виде куба, найдем одночлен, который нужно возвести в куб.
Для переменной $a$ показатель степени равен 3. Разделив его на 3, получаем $3 \div 3 = 1$. Значит, в искомом одночлене будет $a^1$ или просто $a$.
Для переменной $b$ показатель степени равен 6. Разделив его на 3, получаем $6 \div 3 = 2$. Значит, в искомом одночлене будет $b^2$.
Собираем одночлен: $ab^2$.
Проверим: $(ab^2)^3 = a^3 \cdot (b^2)^3 = a^3b^{2 \cdot 3} = a^3b^6$.
Следовательно, $a^3b^6 = (ab^2)^3$.
Ответ: $(ab^2)^3$.

2) Дано выражение $8x^3y^9$.
Извлекаем кубический корень из коэффициента: $\sqrt[3]{8} = 2$.
Делим показатели степеней переменных на 3:
Для $x$: $3 \div 3 = 1$.
Для $y$: $9 \div 3 = 3$.
Искомый одночлен: $2x^1y^3$ или $2xy^3$.
Проверим: $(2xy^3)^3 = 2^3 \cdot x^3 \cdot (y^3)^3 = 8x^3y^{3 \cdot 3} = 8x^3y^9$.
Следовательно, $8x^3y^9 = (2xy^3)^3$.
Ответ: $(2xy^3)^3$.

3) Дано выражение $\frac{1}{64}c^9$.
Извлекаем кубический корень из коэффициента: $\sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{64}} = \frac{1}{4}$.
Делим показатель степени переменной $c$ на 3: $9 \div 3 = 3$.
Искомый одночлен: $\frac{1}{4}c^3$.
Проверим: $(\frac{1}{4}c^3)^3 = (\frac{1}{4})^3 \cdot (c^3)^3 = \frac{1}{64}c^{3 \cdot 3} = \frac{1}{64}c^9$.
Следовательно, $\frac{1}{64}c^9 = (\frac{1}{4}c^3)^3$.
Ответ: $(\frac{1}{4}c^3)^3$.

4) Дано выражение $125m^{12}n^{21}$.
Извлекаем кубический корень из коэффициента: $\sqrt[3]{125} = 5$.
Делим показатели степеней переменных на 3:
Для $m$: $12 \div 3 = 4$.
Для $n$: $21 \div 3 = 7$.
Искомый одночлен: $5m^4n^7$.
Проверим: $(5m^4n^7)^3 = 5^3 \cdot (m^4)^3 \cdot (n^7)^3 = 125m^{4 \cdot 3}n^{7 \cdot 3} = 125m^{12}n^{21}$.
Следовательно, $125m^{12}n^{21} = (5m^4n^7)^3$.
Ответ: $(5m^4n^7)^3$.

5) Дано выражение $0,216k^{15}p^{24}$.
Извлекаем кубический корень из коэффициента: $\sqrt[3]{0,216} = \sqrt[3]{(0,6)^3} = 0,6$.
Делим показатели степеней переменных на 3:
Для $k$: $15 \div 3 = 5$.
Для $p$: $24 \div 3 = 8$.
Искомый одночлен: $0,6k^5p^8$.
Проверим: $(0,6k^5p^8)^3 = (0,6)^3 \cdot (k^5)^3 \cdot (p^8)^3 = 0,216k^{5 \cdot 3}p^{8 \cdot 3} = 0,216k^{15}p^{24}$.
Следовательно, $0,216k^{15}p^{24} = (0,6k^5p^8)^3$.
Ответ: $(0,6k^5p^8)^3$.

6) Дано выражение $0,008a^9b^{18}c^{27}$.
Извлекаем кубический корень из коэффициента: $\sqrt[3]{0,008} = \sqrt[3]{(0,2)^3} = 0,2$.
Делим показатели степеней переменных на 3:
Для $a$: $9 \div 3 = 3$.
Для $b$: $18 \div 3 = 6$.
Для $c$: $27 \div 3 = 9$.
Искомый одночлен: $0,2a^3b^6c^9$.
Проверим: $(0,2a^3b^6c^9)^3 = (0,2)^3 \cdot (a^3)^3 \cdot (b^6)^3 \cdot (c^9)^3 = 0,008a^{3 \cdot 3}b^{6 \cdot 3}c^{9 \cdot 3} = 0,008a^9b^{18}c^{27}$.
Следовательно, $0,008a^9b^{18}c^{27} = (0,2a^3b^6c^9)^3$.
Ответ: $(0,2a^3b^6c^9)^3$.