Номер 802, страница 134 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 802, страница 134.

Условие.

802. Можно ли натуральные числа от 1 до 32 разбить на три группы так, чтобы произведения чисел каждой группы были равны?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Предположим, что такое разбиение возможно. Пусть у нас есть три группы чисел, и произведение чисел в каждой из этих групп равно некоторому числу $P$.

Тогда произведение всех натуральных чисел от 1 до 32 будет равно произведению произведений этих трех групп.

Произведение всех чисел от 1 до 32 равно $32!$ (32 факториал).

С другой стороны, если произведение в каждой из трех групп равно $P$, то произведение всех чисел равно $P \cdot P \cdot P = P^3$.

Следовательно, должно выполняться равенство: $P^3 = 32!$

Это означает, что число $32!$ должно быть точным кубом некоторого натурального числа $P$.

Чтобы число было точным кубом, необходимо и достаточно, чтобы в его разложении на простые множители все показатели степеней были кратны 3.

Рассмотрим разложение числа $32!$ на простые множители. Найдем, в какой степени в это разложение входит простое число 31.

Среди натуральных чисел от 1 до 32 есть только одно число, которое делится на 31, — это само число 31. Других кратных 31 в этом диапазоне нет (следующее кратное — 62).

Таким образом, в разложении числа $32!$ на простые множители множитель 31 будет в первой степени. То есть, $32! = k \cdot 31^1$, где $k$ — произведение остальных сомножителей.

Показатель степени у простого множителя 31 равен 1. Число 1 не делится на 3.

Это означает, что число $32!$ не является точным кубом. Следовательно, не существует такого натурального числа $P$, что $P^3 = 32!$.

Из этого следует, что наше первоначальное предположение неверно, и разбить натуральные числа от 1 до 32 на три группы с равными произведениями невозможно.

Ответ: нет, нельзя.