Страница 137 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какое тождество называют формулой суммы кубов?

1. Формулой суммы кубов называют тождество, которое используется для разложения на множители выражения, представляющего собой сумму кубов двух чисел или выражений. Эта формула является одной из формул сокращенного умножения.

Тождество имеет следующий вид:
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Словесная формулировка данного тождества: сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.
Выражение $a^2 - ab + b^2$ называют неполным квадратом разности, так как полный квадрат разности выглядел бы как $a^2 - 2ab + b^2$.

Доказательство:
Для доказательства справедливости этой формулы достаточно раскрыть скобки в правой части выражения и убедиться, что она равна левой части.
$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a \cdot a^2 + a \cdot (-ab) + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 + b \cdot (-ab) + b \cdot b^2 = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3$
Теперь приведем подобные слагаемые:
$a^3 + (-a^2b + a^2b) + (ab^2 - ab^2) + b^3 = a^3 + 0 + 0 + b^3 = a^3 + b^3$
Мы получили выражение, которое в точности совпадает с левой частью исходного тождества:
$a^3 + b^3 = a^3 + b^3$
Тождество доказано.

Ответ: Формулой суммы кубов называют тождество $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

2. Какой многочлен называют неполным квадратом разности?

Неполным квадратом разности двух выражений (или чисел) $a$ и $b$ называют многочлен, который состоит из суммы квадратов этих выражений минус их произведение.

Этот многочлен имеет вид:

$a^2 - ab + b^2$

Своё название он получил из-за внешнего сходства с формулой полного квадрата разности:

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Отличие заключается в том, что в неполном квадрате разности средний член (произведение выражений $a$ и $b$) взят без удвоения, то есть его коэффициент равен -1, а не -2.

Многочлен "неполный квадрат разности" является одним из множителей в формуле сокращенного умножения для суммы кубов:

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

Ответ: Неполным квадратом разности называют многочлен вида $a^2 - ab + b^2$.

3. Сформулируйте правило разложения на множители суммы кубов двух выражений.

Правило разложения на множители суммы кубов двух выражений формулируется следующим образом: сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

В виде формулы это правило записывается так:

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

В этой формуле выражение $a^2 - ab + b^2$ называется неполным квадратом разности выражений $a$ и $b$. Оно отличается от полного квадрата разности, который равен $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, тем, что удвоенное произведение заменено на простое произведение.

Для доказательства этой формулы достаточно раскрыть скобки в правой части равенства и убедиться, что оно тождественно равно левой части:

$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a \cdot a^2 - a \cdot ab + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 - b \cdot ab + b \cdot b^2 = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 = a^3 + b^3$.

После приведения подобных слагаемых $(-a^2b + a^2b = 0$ и $ab^2 - ab^2 = 0)$ мы получаем исходное выражение $a^3 + b^3$. Тождество доказано.

Рассмотрим применение правила на примере. Разложим на множители выражение $x^3 + 27$.
Первым шагом представим оба слагаемых в виде кубов: $x^3 + 27 = x^3 + 3^3$.
В данном случае $a = x$, а $b = 3$. Теперь подставим эти значения в формулу суммы кубов:
$x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - x \cdot 3 + 3^2) = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)$.

Еще один пример: разложим на множители $8m^6 + 125n^9$.
Представим слагаемые в виде кубов: $8m^6 = (2m^2)^3$ и $125n^9 = (5n^3)^3$.
Здесь $a = 2m^2$ и $b = 5n^3$. Применим формулу:
$(2m^2)^3 + (5n^3)^3 = (2m^2 + 5n^3)((2m^2)^2 - (2m^2)(5n^3) + (5n^3)^2) = (2m^2 + 5n^3)(4m^4 - 10m^2n^3 + 25n^6)$.

Ответ: Правило разложения на множители суммы кубов двух выражений гласит, что сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности. В виде формулы: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

4. Какое тождество называют формулой разности кубов?

Формулой разности кубов называют тождество, которое выражает разность кубов двух чисел или выражений через произведение их разности на неполный квадрат их суммы. Это одна из фундаментальных формул сокращенного умножения, широко применяемая в алгебре для разложения многочленов на множители и упрощения выражений.

Записывается это тождество следующим образом:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Разбор формулы:

Левая часть, $a^3 - b^3$, представляет собой разность кубов двух выражений, $a$ и $b$.

Правая часть состоит из двух множителей:

1. Первый множитель, $(a - b)$, — это разность самих выражений $a$ и $b$.

2. Второй множитель, $(a^2 + ab + b^2)$, называется неполным квадратом суммы. Он отличается от полного квадрата суммы, $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, тем, что средний член $ab$ не удваивается.

Доказательство тождества:

Для доказательства верности формулы нужно раскрыть скобки в правой части и показать, что результат равен левой части.

Рассмотрим правую часть: $(a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Выполним умножение многочленов, умножая каждый член первого многочлена на второй многочлен:

$a \cdot (a^2 + ab + b^2) - b \cdot (a^2 + ab + b^2) = (a^3 + a^2b + ab^2) - (a^2b + ab^2 + b^3)$

Раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные:

$a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$

Теперь приведем подобные слагаемые. Члены $a^2b$ и $-a^2b$ взаимно уничтожаются, так же как и $ab^2$ и $-ab^2$:

$a^3 + (a^2b - a^2b) + (ab^2 - ab^2) - b^3 = a^3 - b^3$

В результате мы получили выражение, идентичное левой части формулы, что и доказывает тождество.

Ответ: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

5. Какой многочлен называют неполным квадратом суммы?

Неполным квадратом суммы двух выражений (например, $a$ и $b$) называют многочлен, который равен сумме квадратов этих выражений, сложенной с их произведением.

Формула неполного квадрата суммы: $a^2 + ab + b^2$.

Это название используется для того, чтобы отличать данный многочлен от полного квадрата суммы, который является результатом возведения суммы в квадрат и содержит удвоенное произведение.

Сравнение формул:
Полный квадрат суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Неполный квадрат суммы: $a^2 + ab + b^2$

Как видно из сравнения, в неполном квадрате суммы отсутствует коэффициент 2 перед произведением $ab$.

Многочлен «неполный квадрат суммы» является одним из множителей в формуле разложения разности кубов:
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Ответ: Неполным квадратом суммы двух выражений $a$ и $b$ называют многочлен вида $a^2 + ab + b^2$.

6. Сформулируйте правило разложения на множители разности кубов двух выражений.

Правило разложения на множители разности кубов двух выражений формулируется следующим образом: разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

В виде формулы это правило для двух выражений $a$ и $b$ записывается так:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Рассмотрим составные части этой формулы:

Первый множитель, $(a - b)$, представляет собой разность исходных выражений.

Второй множитель, $(a^2 + ab + b^2)$, называется неполным квадратом суммы выражений $a$ и $b$. Он отличается от полного квадрата суммы, который выглядит как $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, отсутствием двойки в среднем члене.

Для проверки справедливости этой формулы можно выполнить умножение многочленов в правой части равенства:

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a \cdot (a^2 + ab + b^2) - b \cdot (a^2 + ab + b^2) = a^3 + a^2b + ab^2 - ba^2 - b^2a - b^3$

Приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (a^2b - a^2b) + (ab^2 - ab^2) - b^3 = a^3 - b^3$

Так как правая часть тождественно равна левой, формула верна.

Ответ: Разность кубов двух выражений равна произведению их разности на неполный квадрат их суммы. Формула: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

803. Какое из данных выражений является неполным квадратом суммы, а какое – неполным квадратом разности:

1) $m^2 + 2mn + n^2$;

2) $m^2 + mn - n^2$;

3) $m^2 + mn + n^2$;

4) $m^2 - 4mn + n^2$;

5) $m^2 - mn + n^2$;

6) $m^2 - 2mn + n^2$?

Чтобы ответить на вопрос, необходимо знать определения неполного квадрата суммы и неполного квадрата разности. Эти понятия связаны с формулами сокращенного умножения для суммы и разности кубов.

Неполный квадрат суммы двух выражений $a$ и $b$ — это многочлен вида $a^2 + ab + b^2$. Он является множителем в формуле разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Неполный квадрат разности двух выражений $a$ и $b$ — это многочлен вида $a^2 - ab + b^2$. Он является множителем в формуле суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Ключевое отличие неполных квадратов от полных квадратов заключается в коэффициенте при произведении выражений. Для полного квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и полного квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ этот коэффициент равен 2 или -2.

Проанализируем каждое из данных выражений:

1) $m^2 + 2mn + n^2$
Это выражение является полным квадратом суммы, так как в точности соответствует формуле $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$.
Ответ: Полный квадрат суммы.

2) $m^2 + mn - n^2$
Это выражение не является ни неполным квадратом суммы, ни неполным квадратом разности. В формулах неполных и полных квадратов квадраты обоих выражений ($m^2$ и $n^2$) должны быть положительными, а здесь член $-n^2$ имеет знак минус.
Ответ: Не является ни неполным квадратом суммы, ни неполным квадратом разности.

3) $m^2 + mn + n^2$
Это выражение соответствует определению неполного квадрата суммы $m^2 + mn + n^2$. Здесь есть квадраты обоих выражений ($m^2$ и $n^2$) и их произведение ($mn$) с коэффициентом 1.
Ответ: Неполный квадрат суммы.

4) $m^2 - 4mn + n^2$
Это выражение не является ни полным, ни неполным квадратом. Коэффициент при среднем члене $mn$ равен -4, что не соответствует ни неполному квадрату разности (коэффициент -1), ни полному квадрату разности (коэффициент -2).
Ответ: Не является ни неполным квадратом суммы, ни неполным квадратом разности.

5) $m^2 - mn + n^2$
Это выражение соответствует определению неполного квадрата разности $m^2 - mn + n^2$. Здесь есть квадраты обоих выражений ($m^2$ и $n^2$) и их произведение ($mn$) со знаком минус и коэффициентом 1.
Ответ: Неполный квадрат разности.

6) $m^2 - 2mn + n^2$
Это выражение является полным квадратом разности, так как в точности соответствует формуле $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$.
Ответ: Полный квадрат разности.

804. Является ли тождеством равенство:

1) $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 + xy + y^2)$;

2) $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - 2xy + y^2)$;

3) $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$;

4) $x^3 - y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$?

1) Чтобы проверить, является ли равенство $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 + xy + y^2)$ тождеством, преобразуем его правую часть, раскрыв скобки:
$(x + y)(x^2 + xy + y^2) = x(x^2 + xy + y^2) + y(x^2 + xy + y^2) = x^3 + x^2y + xy^2 + x^2y + xy^2 + y^3$.
После приведения подобных слагаемых получаем:
$x^3 + (x^2y + x^2y) + (xy^2 + xy^2) + y^3 = x^3 + 2x^2y + 2xy^2 + y^3$.
Полученное выражение $x^3 + 2x^2y + 2xy^2 + y^3$ не равно левой части $x^3 + y^3$. Следовательно, данное равенство не является тождеством.
Ответ: не является тождеством.

2) Чтобы проверить, является ли равенство $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - 2xy + y^2)$ тождеством, преобразуем его правую часть:
$(x + y)(x^2 - 2xy + y^2) = x(x^2 - 2xy + y^2) + y(x^2 - 2xy + y^2) = x^3 - 2x^2y + xy^2 + x^2y - 2xy^2 + y^3$.
После приведения подобных слагаемых получаем:
$x^3 + (-2x^2y + x^2y) + (xy^2 - 2xy^2) + y^3 = x^3 - x^2y - xy^2 + y^3$.
Полученное выражение $x^3 - x^2y - xy^2 + y^3$ не равно левой части $x^3 + y^3$. Следовательно, данное равенство не является тождеством.
Ответ: не является тождеством.

3) Чтобы проверить, является ли равенство $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$ тождеством, преобразуем его правую часть:
$(x - y)(x^2 + xy + y^2) = x(x^2 + xy + y^2) - y(x^2 + xy + y^2) = x^3 + x^2y + xy^2 - x^2y - xy^2 - y^3$.
После приведения подобных слагаемых (противоположные слагаемые $x^2y$ и $-x^2y$, а также $xy^2$ и $-xy^2$ взаимно уничтожаются):
$x^3 + (x^2y - x^2y) + (xy^2 - xy^2) - y^3 = x^3 - y^3$.
Полученное выражение $x^3 - y^3$ совпадает с левой частью. Это равенство верно для любых значений $x$ и $y$ и является формулой сокращенного умножения «разность кубов».
Ответ: является тождеством.

4) Чтобы проверить, является ли равенство $x^3 - y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$ тождеством, преобразуем его правую часть:
$(x + y)(x^2 - xy + y^2) = x(x^2 - xy + y^2) + y(x^2 - xy + y^2) = x^3 - x^2y + xy^2 + x^2y - xy^2 + y^3$.
После приведения подобных слагаемых (противоположные слагаемые $-x^2y$ и $x^2y$, а также $xy^2$ и $-xy^2$ взаимно уничтожаются):
$x^3 + (-x^2y + x^2y) + (xy^2 - xy^2) + y^3 = x^3 + y^3$.
Полученное выражение $x^3 + y^3$ (формула суммы кубов) не равно левой части $x^3 - y^3$. Следовательно, данное равенство не является тождеством.
Ответ: не является тождеством.