Страница 135 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Выполните умножение: $ (3n + 1)(3n - 1) $.

А) $ 9n^2 - 6n + 1 $

Б) $ 9n^2 + 6n + 1 $

В) $ 9n^2 - 1 $

Г) $ 9n^2 + 1 $

1. Чтобы выполнить умножение выражения $(3n + 1)(3n - 1)$, можно применить формулу сокращенного умножения, известную как "разность квадратов": $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.

В данном выражении мы можем принять $a = 3n$ и $b = 1$.

Применим формулу, подставив наши значения:

$(3n + 1)(3n - 1) = (3n)^2 - 1^2$

Теперь вычислим квадраты каждого из слагаемых:

$(3n)^2 = 3^2 \cdot n^2 = 9n^2$

$1^2 = 1$

Собираем выражение обратно:

$9n^2 - 1$

Этот результат соответствует варианту ответа В.

Альтернативный способ — раскрыть скобки, перемножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$(3n + 1)(3n - 1) = 3n \cdot 3n + 3n \cdot (-1) + 1 \cdot 3n + 1 \cdot (-1)$

Выполняем умножение:

$9n^2 - 3n + 3n - 1$

Приводим подобные слагаемые ($-3n$ и $+3n$ взаимно уничтожаются):

$9n^2 - 1$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: В) $9n^2 - 1$

2. Какому многочлену равно выражение $(4x - 1)^2$?

А) $16x^2 + 8x + 1$

Б) $16x^2 - 8x + 1$

В) $16x^2 + 1$

Г) $16x^2 - 1$

Для того чтобы найти, какому многочлену равно выражение $(4x - 1)^2$, необходимо воспользоваться формулой сокращенного умножения "квадрат разности": $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном выражении в качестве $a$ выступает $4x$, а в качестве $b$ — число $1$.

Применим формулу, подставив наши значения:

$(4x - 1)^2 = (4x)^2 - 2 \cdot (4x) \cdot 1 + 1^2$

Теперь выполним вычисления для каждого слагаемого:

• Квадрат первого члена: $(4x)^2 = 4^2 \cdot x^2 = 16x^2$.
• Удвоенное произведение первого члена на второй: $2 \cdot 4x \cdot 1 = 8x$.
• Квадрат второго члена: $1^2 = 1$.

Соединим полученные части, учитывая знаки в формуле:

$16x^2 - 8x + 1$

Сравнивая полученный многочлен с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом Б.

Ответ: $16x^2 - 8x + 1$

3. Разложите на множители выражение $4a^2 - 25$.

А) $(2a-5)^2$

Б) $(2a+5)^2$

В) $(2a-5)(2a+5)$

Г) $2a(2a-25)$

Для того чтобы разложить на множители выражение $4a^2 - 25$, необходимо воспользоваться формулой сокращенного умножения "разность квадратов". Формула разности квадратов выглядит так: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Сначала представим каждый член данного выражения в виде квадрата:

• Первый член $4a^2$ можно записать как $(2a)^2$, потому что $2^2 = 4$ и $a^2$ уже является квадратом.
• Второй член $25$ является квадратом числа $5$, то есть $25 = 5^2$.

Теперь мы можем переписать исходное выражение в виде разности квадратов: $4a^2 - 25 = (2a)^2 - 5^2$.

Применяя формулу разности квадратов, где $x = 2a$ и $y = 5$, мы получаем: $(2a)^2 - 5^2 = (2a - 5)(2a + 5)$.

Полученное выражение $(2a - 5)(2a + 5)$ является разложением исходного выражения на множители. Этот результат соответствует варианту В) в предложенных ответах.

Ответ: В) $(2a - 5)(2a + 5)$

4. Представьте в виде произведения выражение $-0.09x^4 + 81y^{16}$.

А) $(0.03x^2 - 9y^4)(0.03x^2 + 9y^4)$

Б) $(9y^8 - 0.03x^2)(9y^8 + 0.03x^2)$

В) $(9y^8 - 0.3x^2)(9y^8 + 0.3x^2)$

Г) $(9y^4 - 0.3x^2)(9y^4 + 0.3x^2)$

Для того чтобы представить выражение $-0,09x^4 + 81y^{16}$ в виде произведения, необходимо применить формулу сокращенного умножения, а именно разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

1. Для удобства поменяем слагаемые местами, чтобы выражение начиналось с положительного члена:

$81y^{16} - 0,09x^4$

2. Теперь представим каждый член этого выражения в виде квадрата некоторого одночлена. Это позволит нам применить формулу разности квадратов.

Рассмотрим первый член, $81y^{16}$:
Коэффициент $81$ — это квадрат числа $9$, то есть $81 = 9^2$.
Переменную $y^{16}$ можно представить как $(y^8)^2$, так как по свойству степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, в нашем случае $16 = 8 \cdot 2$.
Следовательно, $81y^{16} = (9y^8)^2$.

Рассмотрим второй член, $0,09x^4$:
Коэффициент $0,09$ — это квадрат числа $0,3$, так как $0,3^2 = 0,09$.
Переменную $x^4$ можно представить как $(x^2)^2$, так как $4 = 2 \cdot 2$.
Следовательно, $0,09x^4 = (0,3x^2)^2$.

3. Теперь исходное выражение можно записать в виде разности квадратов:

$(9y^8)^2 - (0,3x^2)^2$

4. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где в нашем случае $a = 9y^8$ и $b = 0,3x^2$. Получаем:

$(9y^8 - 0,3x^2)(9y^8 + 0,3x^2)$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом В.

Ответ: В) $(9y^8 - 0,3x^2)(9y^8 + 0,3x^2)$.

5. Какой из данных двучленов можно разложить на множители, применяя формулу разности квадратов?

А) $-a^2 - 4b^2$

Б) $4a^2 + b^2$

В) $a^2 - 4b^2$

Г) $4b^2 + a^2$

Для того чтобы разложить двучлен на множители по формуле разности квадратов, он должен представлять собой разность двух выражений, каждое из которых является полным квадратом. Сама формула имеет вид: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Проанализируем каждый из предложенных вариантов:

А) $-a^2 - 4b^2$

Данное выражение можно записать как $-(a^2 + 4b^2)$. В скобках находится сумма квадратов, а не разность. Поэтому формула разности квадратов здесь неприменима.

Б) $4a^2 + b^2$

Это выражение является суммой квадратов: $(2a)^2 + b^2$. Формула разности квадратов не применяется к сумме квадратов (в поле действительных чисел).

В) $a^2 - 4b^2$

Это выражение является разностью. Первый член, $a^2$, является квадратом $a$. Второй член, $4b^2$, является квадратом $2b$, поскольку $(2b)^2 = 4b^2$. Таким образом, выражение представляет собой разность квадратов $a$ и $2b$. Применив формулу, получаем: $a^2 - 4b^2 = (a)^2 - (2b)^2 = (a - 2b)(a + 2b)$. Следовательно, этот двучлен можно разложить по формуле разности квадратов.

Г) $4b^2 + a^2$

Это выражение идентично выражению из пункта Б, только слагаемые поменялись местами. Это сумма квадратов, $(2b)^2 + a^2$, и к ней нельзя применить формулу разности квадратов.

Таким образом, единственный двучлен, который можно разложить на множители с помощью формулы разности квадратов, — это $a^2 - 4b^2$.

Ответ: В) $a^2 - 4b^2$

6. Представьте в виде квадрата двучлена выражение $a^2 - 8a + 16$.

А) $(a + 4)^2$

Б) $(a - 4)^2$

В) $(4a + 1)^2$

Г) $(a - 1)^2$

Чтобы представить выражение $a^2 - 8a + 16$ в виде квадрата двучлена, необходимо применить формулу сокращенного умножения для квадрата разности:

$(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

Сравним данное выражение $a^2 - 8a + 16$ с этой формулой. Во-первых, первый член выражения, $a^2$, является квадратом $a$. Следовательно, можно принять $x = a$. Во-вторых, третий член, $16$, является квадратом $4$ (так как $4^2 = 16$). Следовательно, можно принять $y = 4$. В-третьих, необходимо проверить, соответствует ли средний член $-8a$ выражению $-2xy$ при найденных значениях $x$ и $y$.

Подставляем $x=a$ и $y=4$ в $-2xy$:

$-2 \cdot a \cdot 4 = -8a$

Полученное значение полностью совпадает со средним членом исходного выражения. Это подтверждает, что выражение $a^2 - 8a + 16$ является полным квадратом разности $a$ и $4$.

Таким образом, можем записать:

$a^2 - 8a + 16 = (a - 4)^2$

Этот результат соответствует варианту Б) из предложенных.

Ответ: Б) $(a - 4)^2$

7. Известно, что $(\frac{1}{2}x - 3y^2)^2 = \frac{1}{4}x^2 + axy^2 + 9y^4$. Чему равно значение $a$?

А) 3

Б) -3

В) 6

Г) -6

Для решения данной задачи необходимо раскрыть скобки в левой части уравнения, используя формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$.

В данном выражении $(\frac{1}{2}x - 3y^2)^2$ имеем:

$m = \frac{1}{2}x$

$n = 3y^2$

Применим формулу:

$(\frac{1}{2}x - 3y^2)^2 = (\frac{1}{2}x)^2 - 2 \cdot (\frac{1}{2}x) \cdot (3y^2) + (3y^2)^2$

Теперь вычислим каждый член выражения:

Первый член: $(\frac{1}{2}x)^2 = \frac{1}{4}x^2$.

Второй член (удвоенное произведение): $-2 \cdot (\frac{1}{2}x) \cdot (3y^2) = - (2 \cdot \frac{1}{2}) \cdot 3 \cdot x \cdot y^2 = -1 \cdot 3xy^2 = -3xy^2$.

Третий член: $(3y^2)^2 = 3^2 \cdot (y^2)^2 = 9y^4$.

Собрав все члены вместе, получаем выражение:

$\frac{1}{4}x^2 - 3xy^2 + 9y^4$

Теперь приравняем полученное выражение к правой части исходного равенства:

$\frac{1}{4}x^2 - 3xy^2 + 9y^4 = \frac{1}{4}x^2 + axy^2 + 9y^4$

Сравнивая коэффициенты при подобных слагаемых, мы видим, что член $axy^2$ должен быть равен члену $-3xy^2$.

$axy^2 = -3xy^2$

Отсюда следует, что коэффициент $a$ равен $-3$.

Ответ: Б) -3

8. Упростите выражение $ (x+8)(x-8) - x(x-6) $.

А) $ 6x - 16 $

Б) $ 6x + 16 $

В) $ -6x - 64 $

Г) $ 6x - 64 $

Для того чтобы упростить выражение $(x+8)(x-8) - x(x-6)$, необходимо последовательно выполнить алгебраические преобразования.

1. Раскрытие первой скобки. Выражение $(x+8)(x-8)$ является формулой разности квадратов, которая имеет вид $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. Применим эту формулу к нашему выражению, где $a=x$ и $b=8$:

$(x+8)(x-8) = x^2 - 8^2 = x^2 - 64$

2. Раскрытие второй скобки. Выражение $-x(x-6)$ упрощается с помощью распределительного закона умножения. Нужно умножить $-x$ на каждый член в скобках:

$-x(x-6) = (-x) \cdot x + (-x) \cdot (-6) = -x^2 + 6x$

3. Объединение и упрощение. Теперь подставим полученные выражения в исходное:

$(x^2 - 64) + (-x^2 + 6x)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 64 - x^2 + 6x$

Сгруппируем члены с $x^2$ и члены с $x$:

$(x^2 - x^2) + 6x - 64$

Члены $x^2$ и $-x^2$ взаимно уничтожаются, так как их сумма равна нулю. В результате остается:

$6x - 64$

Полученный результат соответствует варианту ответа Г).

Ответ: $6x - 64$

9. Какому многочлену равно выражение $(7m-2)^2 - (7m-1)(7m+1)$?

А) $-14m+5$

Б) $-14m+3$

В) $-28m+5$

Г) $-28m+3$

Для упрощения данного выражения необходимо раскрыть скобки, используя формулы сокращённого умножения, а затем привести подобные слагаемые.

Исходное выражение: $(7m-2)^2 - (7m-1)(7m+1)$.

1. Раскроем первую часть выражения, $(7m-2)^2$, по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Подставим $a = 7m$ и $b = 2$:

$(7m-2)^2 = (7m)^2 - 2 \cdot (7m) \cdot 2 + 2^2 = 49m^2 - 28m + 4$.

2. Раскроем вторую часть выражения, $(7m-1)(7m+1)$, по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Подставим $a = 7m$ и $b = 1$:

$(7m-1)(7m+1) = (7m)^2 - 1^2 = 49m^2 - 1$.

3. Теперь подставим раскрытые части обратно в исходное выражение:

$(7m-2)^2 - (7m-1)(7m+1) = (49m^2 - 28m + 4) - (49m^2 - 1)$.

4. Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри неё меняются на противоположные:

$49m^2 - 28m + 4 - 49m^2 + 1$.

5. Приведём подобные слагаемые:

Слагаемые с $m^2$ взаимно уничтожаются: $49m^2 - 49m^2 = 0$.

Свободные члены складываются: $4 + 1 = 5$.

Остаётся: $-28m + 5$.

Таким образом, исходное выражение равно многочлену $-28m + 5$. Этот результат соответствует варианту В).

Ответ: В) $-28m + 5$

10. Упростите выражение $(c - 4)^2 - (3 - c)^2.$

А) $2c - 7$

Б) $7 - 2c$

В) $7 + 2c$

Г) $-2c - 7$

Для упрощения выражения $(c - 4)^2 - (3 - c)^2$ можно использовать два основных алгебраических метода.

Способ 1: Применение формулы разности квадратов

Исходное выражение представляет собой разность квадратов вида $a^2 - b^2$, где $a = c - 4$ и $b = 3 - c$.

Воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Подставим наши значения $a$ и $b$ в формулу:

$(c - 4)^2 - (3 - c)^2 = ((c - 4) - (3 - c)) \cdot ((c - 4) + (3 - c))$

Далее упростим выражения в каждой из скобок.

Вычисление первой скобки:

$(c - 4) - (3 - c) = c - 4 - 3 + c = 2c - 7$

Вычисление второй скобки:

$(c - 4) + (3 - c) = c - 4 + 3 - c = -1$

Теперь перемножим полученные результаты:

$(2c - 7) \cdot (-1) = -2c + 7$

Для удобства сравнения с вариантами ответов, запишем результат как $7 - 2c$.

Способ 2: Раскрытие скобок по формуле квадрата разности

Для раскрытия скобок воспользуемся формулой квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Раскроем первую скобку:

$(c - 4)^2 = c^2 - 2 \cdot c \cdot 4 + 4^2 = c^2 - 8c + 16$

Раскроем вторую скобку:

$(3 - c)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot c + c^2 = 9 - 6c + c^2$

Теперь подставим раскрытые скобки в исходное выражение и выполним вычитание:

$(c^2 - 8c + 16) - (9 - 6c + c^2)$

Раскрываем скобки, меняя знаки слагаемых во второй скобке на противоположные:

$c^2 - 8c + 16 - 9 + 6c - c^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(c^2 - c^2) + (-8c + 6c) + (16 - 9) = 0 - 2c + 7 = 7 - 2c$

Оба способа привели к одному и тому же результату $7 - 2c$, что соответствует варианту ответа Б.

Ответ: $7 - 2c$.

11. Найдите значение выражения $(x-4)^2 + 2(4+x)(4-x) + (x+4)^2$

при $x=-1,2.$

А) 64

Б) 32

В) 48

Г) 72

Для решения задачи найдем значение выражения $(x - 4)^2 + 2(4 + x)(4 - x) + (x + 4)^2$ при $x = -1,2$.

Проще всего сначала упростить данное алгебраическое выражение, а затем подставить значение переменной.

Выражение напоминает формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.

Воспользуемся свойством, что $(a - b)^2 = (b - a)^2$. Перепишем первый член выражения:
$(x - 4)^2 = (4 - x)^2$

Также учтем, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется, поэтому $(x+4)^2 = (4+x)^2$.
Теперь исходное выражение можно записать в следующем виде:
$(4 - x)^2 + 2(4 - x)(4 + x) + (4 + x)^2$

Это является развернутой формой квадрата суммы, где $a = (4 - x)$ и $b = (4 + x)$. Применим формулу $(a+b)^2$:
$((4 - x) + (4 + x))^2$

Теперь упростим выражение внутри скобок:
$(4 - x + 4 + x)^2$
Приводим подобные слагаемые: $-x$ и $+x$ взаимно уничтожаются, а $4+4=8$.
$(8)^2$

Вычисляем квадрат числа:
$8^2 = 64$

Полученный результат не зависит от значения $x$. Следовательно, при $x = -1,2$ значение выражения будет равно 64.

Ответ: 64

12. Представьте в виде многочлена выражение $(4 + a^2)(a - 2)(a + 2)$.

А) $a^2 - 16$

Б) $16 - a^2$

В) $16 - a^4$

Г) $a^4 - 16$

Чтобы представить данное выражение в виде многочлена, необходимо последовательно раскрыть скобки, используя формулы сокращенного умножения.

Исходное выражение: $(4 + a^2)(a - 2)(a + 2)$.

В первую очередь обратим внимание на произведение $(a - 2)(a + 2)$. Это формула разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$. В нашем случае $x = a$ и $y = 2$.

Применим формулу:

$(a - 2)(a + 2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(4 + a^2)(a^2 - 4)$.

Мы снова получили выражение, которое можно упростить с помощью формулы разности квадратов. Для удобства поменяем местами слагаемые в первой скобке (от этого сумма не изменится):

$(a^2 + 4)(a^2 - 4)$.

Теперь применим ту же формулу, где $x = a^2$ и $y = 4$:

$(a^2)^2 - 4^2 = a^4 - 16$.

Таким образом, итоговый многочлен равен $a^4 - 16$. Этот результат соответствует варианту ответа Г.

Ответ: Г) $a^4 - 16$.