Страница 132 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

769. Является ли тождеством равенство: $(a - 2)(a - 3)(a + 3)(a + 2) + a^2 = (a^2 - 6)^2?$

Для проверки того, является ли данное равенство тождеством, необходимо преобразовать его левую и правую части и убедиться, что они равны для любых значений переменной $a$.

Рассмотрим левую часть равенства: $(a-2)(a-3)(a+3)(a+2) + a^2$.

Сгруппируем множители для удобства, используя переместительный закон умножения:

$( (a-2)(a+2) ) \cdot ( (a-3)(a+3) ) + a^2$

Применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ к каждой паре скобок:

$(a-2)(a+2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$

$(a-3)(a+3) = a^2 - 3^2 = a^2 - 9$

Подставим полученные выражения обратно в левую часть:

$(a^2 - 4)(a^2 - 9) + a^2$

Теперь раскроем скобки, перемножив многочлены:

$a^2 \cdot a^2 + a^2 \cdot (-9) - 4 \cdot a^2 - 4 \cdot (-9) + a^2 = a^4 - 9a^2 - 4a^2 + 36 + a^2$

Приведем подобные слагаемые:

$a^4 + (-9a^2 - 4a^2 + a^2) + 36 = a^4 - 12a^2 + 36$

Таким образом, левая часть равенства равна $a^4 - 12a^2 + 36$.

Теперь рассмотрим правую часть равенства: $(a^2 - 6)^2$.

Применим формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(a^2 - 6)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 6 + 6^2 = a^4 - 12a^2 + 36$

Правая часть равенства также равна $a^4 - 12a^2 + 36$.

Поскольку левая и правая части равенства после преобразований тождественно равны одному и тому же выражению ($a^4 - 12a^2 + 36$), исходное равенство является тождеством.

Ответ: да, равенство является тождеством.

770. Докажите тождество:

1) $(a-1)^2 + 2(a-1) + 1 = a^2$;

2) $(a+b)^2 - 2(a+b)(a-b) + (a-b)^2 = 4b^2$;

3) $(a-8)^2 + 2(a-8)(3-a) + (a-3)^2 = 25$;

4) $(x^n - 2)^2 - 2(x^n - 2)(x^n + 2) + (x^n + 2)^2 = 16$,

где $n$ – произвольное натуральное число.

1) Докажем тождество $(a-1)^2+2(a-1)+1=a^2$.
Преобразуем левую часть равенства. Данное выражение представляет собой формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.
Пусть $x = (a-1)$ и $y=1$. Тогда левая часть примет вид:
$((a-1)+1)^2$
Упростим выражение в скобках:
$(a-1+1)^2 = a^2$
Получили, что левая часть равна правой: $a^2 = a^2$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество $(a-1)^2+2(a-1)+1=a^2$ доказано.

2) Докажем тождество $(a+b)^2-2(a+b)(a-b)+(a-b)^2=4b^2$.
Преобразуем левую часть равенства. Данное выражение представляет собой формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.
Пусть $x = (a+b)$ и $y=(a-b)$. Тогда левая часть примет вид:
$((a+b)-(a-b))^2$
Раскроем внутренние скобки и упростим выражение:
$(a+b-a+b)^2 = (2b)^2 = 4b^2$
Получили, что левая часть равна правой: $4b^2 = 4b^2$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество $(a+b)^2-2(a+b)(a-b)+(a-b)^2=4b^2$ доказано.

3) Докажем тождество $(a-8)^2+2(a-8)(3-a)+(a-3)^2=25$.
Преобразуем левую часть равенства. Заметим, что $(a-3)^2 = (-(3-a))^2 = (3-a)^2$.
Подставим это в исходное выражение:
$(a-8)^2+2(a-8)(3-a)+(3-a)^2$
Теперь выражение представляет собой формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.
Пусть $x = (a-8)$ и $y=(3-a)$. Тогда левая часть примет вид:
$((a-8)+(3-a))^2$
Упростим выражение в скобках:
$(a-8+3-a)^2 = (-5)^2 = 25$
Получили, что левая часть равна правой: $25 = 25$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество $(a-8)^2+2(a-8)(3-a)+(a-3)^2=25$ доказано.

4) Докажем тождество $(x^n-2)^2-2(x^n-2)(x^n+2)+(x^n+2)^2=16$, где $n$ – произвольное натуральное число.
Преобразуем левую часть равенства. Данное выражение представляет собой формулу квадрата разности $(A-B)^2 = A^2-2AB+B^2$.
Пусть $A = (x^n-2)$ и $B=(x^n+2)$. Тогда левая часть примет вид:
$((x^n-2)-(x^n+2))^2$
Раскроем внутренние скобки и упростим выражение:
$(x^n-2-x^n-2)^2 = (-4)^2 = 16$
Получили, что левая часть равна правой: $16 = 16$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество $(x^n-2)^2-2(x^n-2)(x^n+2)+(x^n+2)^2=16$ доказано.

771. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

1) $(3x + 8)^2 - 2(3x + 8)(3x - 8) + (3x - 8)^2$

2) $(4x - 7)^2 + (4x - 11)^2 + 2(4x - 7)(11 - 4x)$

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от значения переменной, необходимо упростить его. Заметим, что данное выражение представляет собой формулу квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

В нашем случае $a = (3x + 8)$ и $b = (3x - 8)$.

Подставим эти значения в формулу:

$(3x + 8)^2 - 2(3x + 8)(3x - 8) + (3x - 8)^2 = ((3x + 8) - (3x - 8))^2$

Теперь упростим выражение в скобках:

$((3x + 8) - (3x - 8))^2 = (3x + 8 - 3x + 8)^2$

Приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$(3x - 3x + 8 + 8)^2 = (0 + 16)^2 = 16^2$

Вычислим значение:

$16^2 = 256$

Полученное значение 256 является константой и не зависит от переменной $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: 256.

2) Упростим данное выражение. Для этого преобразуем один из множителей в последнем слагаемом:

$(11 - 4x) = -(4x - 11)$

Подставим это в исходное выражение:

$(4x - 7)^2 + (4x - 11)^2 + 2(4x - 7)(-(4x - 11))$

$(4x - 7)^2 + (4x - 11)^2 - 2(4x - 7)(4x - 11)$

Перегруппируем слагаемые, чтобы увидеть знакомую формулу:

$(4x - 7)^2 - 2(4x - 7)(4x - 11) + (4x - 11)^2$

Это выражение является формулой квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$, где $a = (4x - 7)$ и $b = (4x - 11)$.

Применим формулу:

$((4x - 7) - (4x - 11))^2$

Упростим выражение в скобках:

$(4x - 7 - 4x + 11)^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(4x - 4x - 7 + 11)^2 = (0 + 4)^2 = 4^2$

Вычислим значение:

$4^2 = 16$

Полученное значение 16 является константой и не зависит от переменной $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: 16.

772. Докажите, что уравнение не имеет корней:

1) $x^2 - 14x + 52 = 0;$

2) $4x^2 - 2x + 1 = 0.$

Чтобы доказать, что квадратное уравнение не имеет действительных корней, достаточно показать, что его дискриминант отрицателен. Дискриминант $D$ для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

1) $x^2 - 14x + 52 = 0$

Это квадратное уравнение, где коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -14$, $c = 52$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 52 = 196 - 208 = -12$.

Так как дискриминант $D = -12$, что меньше нуля ($D < 0$), то уравнение не имеет действительных корней.

Дополнительный способ (выделение полного квадрата):

Преобразуем левую часть уравнения:

$x^2 - 14x + 52 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 7 + 49) - 49 + 52 = (x - 7)^2 + 3$.

Уравнение принимает вид:

$(x - 7)^2 + 3 = 0$,

что равносильно

$(x - 7)^2 = -3$.

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной (то есть $ \ge 0 $), поэтому он не может быть равен отрицательному числу $-3$. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: доказано, что уравнение не имеет корней.

2) $4x^2 - 2x + 1 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами: $a = 4$, $b = -2$, $c = 1$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 4 - 16 = -12$.

Поскольку $D = -12 < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Дополнительный способ (выделение полного квадрата):

Преобразуем левую часть уравнения:

$4x^2 - 2x + 1 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 + 1 = (2x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + 1 = (2x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$.

Уравнение принимает вид:

$(2x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} = 0$,

что равносильно

$(2x - \frac{1}{2})^2 = -\frac{3}{4}$.

Выражение в левой части не может быть отрицательным, так как является полным квадратом. Следовательно, равенство невозможно, и уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: доказано, что уравнение не имеет корней.

773. Докажите, что данное выражение принимает положительные значения при всех значениях x. Укажите, какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении x:

1) $x^2 - 6x + 10;$

2) $16x^2 + 24x + 25;$

3) $x^2 + x + 1.$

1) Для выражения $x^2 - 6x + 10$ выделим полный квадрат, чтобы доказать его положительность и найти наименьшее значение.

Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Преобразуем выражение:

$x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 10 = (x - 3)^2 - 9 + 10 = (x - 3)^2 + 1$.

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, $(x - 3)^2 \ge 0$ для всех значений $x$.

Следовательно, значение всего выражения $(x - 3)^2 + 1$ всегда будет не меньше, чем $0 + 1 = 1$.

$(x - 3)^2 + 1 \ge 1$.

Поскольку выражение всегда больше или равно 1, оно всегда принимает положительные значения.

Наименьшее значение достигается, когда слагаемое $(x - 3)^2$ равно нулю. Это происходит при $x - 3 = 0$, то есть при $x = 3$.

При $x = 3$ значение выражения равно $(3 - 3)^2 + 1 = 0^2 + 1 = 1$.

Ответ: наименьшее значение равно 1 при $x = 3$.

2) Для выражения $16x^2 + 24x + 25$ выделим полный квадрат.

Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Преобразуем выражение:

$16x^2 + 24x + 25 = (4x)^2 + 2 \cdot (4x) \cdot 3 + 3^2 - 3^2 + 25 = ((4x)^2 + 24x + 9) + 16 = (4x + 3)^2 + 16$.

Так как $(4x + 3)^2 \ge 0$ для всех значений $x$, то $(4x + 3)^2 + 16 \ge 0 + 16 = 16$.

Поскольку выражение всегда больше или равно 16, оно всегда принимает положительные значения.

Наименьшее значение достигается, когда $(4x + 3)^2 = 0$. Это происходит при $4x + 3 = 0$, то есть при $x = -\frac{3}{4}$.

При $x = -\frac{3}{4}$ значение выражения равно $(4(-\frac{3}{4}) + 3)^2 + 16 = (-3 + 3)^2 + 16 = 0^2 + 16 = 16$.

Ответ: наименьшее значение равно 16 при $x = -\frac{3}{4}$.

3) Для выражения $x^2 + x + 1$ выделим полный квадрат.

Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Преобразуем выражение:

$x^2 + x + 1 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$.

Так как $(x + \frac{1}{2})^2 \ge 0$ для всех значений $x$, то $(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} \ge 0 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$.

Поскольку выражение всегда больше или равно $\frac{3}{4}$, оно всегда принимает положительные значения.

Наименьшее значение достигается, когда $(x + \frac{1}{2})^2 = 0$. Это происходит при $x + \frac{1}{2} = 0$, то есть при $x = -\frac{1}{2}$.

При $x = -\frac{1}{2}$ значение выражения равно $(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} = 0^2 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$.

Ответ: наименьшее значение равно $\frac{3}{4}$ при $x = -\frac{1}{2}$.

774. Может ли принимать отрицательные значения выражение:

1) $x^2 - 24x + 144$;

2) $4x^2 + 20x + 28?$

1) Чтобы определить, может ли выражение $x^2 - 24x + 144$ принимать отрицательные значения, преобразуем его, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном выражении $a^2 = x^2$, что означает $a=x$, а $b^2 = 144$, что означает $b=12$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 12 = 24x$.

Следовательно, выражение является полным квадратом:

$x^2 - 24x + 144 = (x - 12)^2$

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной, то есть $(x - 12)^2 \ge 0$ при любом значении $x$. Минимальное значение этого выражения равно 0 (достигается при $x=12$), но оно никогда не может быть отрицательным.

Ответ: нет, не может.

2) Рассмотрим выражение $4x^2 + 20x + 28$. Чтобы определить его знак, преобразуем его методом выделения полного квадрата.

Сначала вынесем общий множитель 4 за скобки:

$4x^2 + 20x + 28 = 4(x^2 + 5x + 7)$

Теперь выделим полный квадрат для выражения в скобках $x^2 + 5x + 7$. Для этого добавим и вычтем $(\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$:

$x^2 + 5x + 7 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{5}{2} + \frac{25}{4}) - \frac{25}{4} + 7 = (x + \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + \frac{28}{4} = (x + \frac{5}{2})^2 + \frac{3}{4}$

Подставим это обратно в исходное выражение:

$4 \left( (x + \frac{5}{2})^2 + \frac{3}{4} \right) = 4(x + \frac{5}{2})^2 + 4 \cdot \frac{3}{4} = 4(x + \frac{5}{2})^2 + 3$

Поскольку выражение $(x + \frac{5}{2})^2$ всегда больше или равно нулю, то $4(x + \frac{5}{2})^2 \ge 0$. Следовательно, наименьшее значение всего выражения $4(x + \frac{5}{2})^2 + 3$ равно $0 + 3 = 3$.

Так как минимальное значение выражения равно 3 (что является положительным числом), оно не может принимать отрицательные значения.

Ответ: нет, не может.

775. Докажите, что данное выражение принимает отрицательные значения при всех значениях x. Укажите, какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении x:

1) $-x^2 + 4x - 12$;

2) $22x - 121x^2 - 2$;

3) $-56 - 36x^2 - 84x$.

1)

Рассмотрим выражение $-x^2 + 4x - 12$. Это квадратичная функция $y = -x^2 + 4x - 12$, графиком которой является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-1$ (отрицательный), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет наибольшее значение в своей вершине.

Чтобы доказать, что выражение всегда принимает отрицательные значения, достаточно найти его наибольшее значение и убедиться, что оно отрицательно. Для этого преобразуем выражение, выделив полный квадрат:

$-x^2 + 4x - 12 = -(x^2 - 4x) - 12 = -(x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 - 2^2) - 12 = -((x-2)^2 - 4) - 12 = -(x-2)^2 + 4 - 12 = -(x-2)^2 - 8$.

Выражение $(x-2)^2$ всегда неотрицательно для любого значения $x$, то есть $(x-2)^2 \ge 0$.

Соответственно, выражение $-(x-2)^2$ всегда неположительно, то есть $-(x-2)^2 \le 0$.

Таким образом, наибольшее значение выражения $-(x-2)^2 - 8$ достигается, когда $-(x-2)^2 = 0$, что происходит при $x=2$. Это наибольшее значение равно $0 - 8 = -8$.

Поскольку наибольшее значение выражения равно $-8$, что является отрицательным числом, то при всех значениях $x$ данное выражение принимает отрицательные значения. Наибольшее значение выражения равно $-8$ и достигается при $x=2$.

Ответ: наибольшее значение равно $-8$ при $x=2$.

2)

Рассмотрим выражение $22x - 121x^2 - 2$. Запишем его в стандартном виде: $-121x^2 + 22x - 2$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ равен $-121$). Следовательно, функция имеет наибольшее значение в своей вершине.

Найдем наибольшее значение, выделив полный квадрат:

$-121x^2 + 22x - 2 = -(121x^2 - 22x) - 2 = -((11x)^2 - 2 \cdot 11x \cdot 1 + 1^2 - 1^2) - 2 = -((11x - 1)^2 - 1) - 2 = -(11x - 1)^2 + 1 - 2 = -(11x - 1)^2 - 1$.

Выражение $(11x-1)^2$ всегда неотрицательно: $(11x-1)^2 \ge 0$.

Значит, выражение $-(11x-1)^2$ всегда неположительно: $-(11x-1)^2 \le 0$.

Наибольшее значение выражения $-(11x-1)^2 - 1$ достигается, когда $-(11x-1)^2 = 0$. Это происходит, когда $11x - 1 = 0$, то есть $x = \frac{1}{11}$.

Наибольшее значение равно $0 - 1 = -1$.

Так как наибольшее значение выражения равно $-1$, оно всегда отрицательно. Наибольшее значение выражения равно $-1$ и достигается при $x = \frac{1}{11}$.

Ответ: наибольшее значение равно $-1$ при $x = \frac{1}{11}$.

3)

Рассмотрим выражение $-56 - 36x^2 - 84x$. Запишем его в стандартном виде: $-36x^2 - 84x - 56$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ равен $-36$). Следовательно, функция имеет наибольшее значение в своей вершине.

Найдем наибольшее значение, выделив полный квадрат:

$-36x^2 - 84x - 56 = -(36x^2 + 84x) - 56 = -((6x)^2 + 2 \cdot 6x \cdot 7 + 7^2 - 7^2) - 56 = -((6x+7)^2 - 49) - 56 = -(6x+7)^2 + 49 - 56 = -(6x+7)^2 - 7$.

Выражение $(6x+7)^2$ всегда неотрицательно: $(6x+7)^2 \ge 0$.

Значит, выражение $-(6x+7)^2$ всегда неположительно: $-(6x+7)^2 \le 0$.

Наибольшее значение выражения $-(6x+7)^2 - 7$ достигается, когда $-(6x+7)^2 = 0$. Это происходит, когда $6x+7 = 0$, то есть $x = -\frac{7}{6}$.

Наибольшее значение равно $0 - 7 = -7$.

Так как наибольшее значение выражения равно $-7$, оно всегда отрицательно. Наибольшее значение выражения равно $-7$ и достигается при $x = -\frac{7}{6}$.

Ответ: наибольшее значение равно $-7$ при $x = -\frac{7}{6}$.

776. Может ли принимать положительные значения выражение:

1) $-x^2 + 20x - 100;$

2) $-x^2 - 10 - 4x?$

1) Чтобы определить, может ли выражение $-x^2 + 20x - 100$ принимать положительные значения, преобразуем его. Для этого вынесем знак минус за скобки:

$-x^2 + 20x - 100 = -(x^2 - 20x + 100)$

Заметим, что выражение в скобках, $x^2 - 20x + 100$, является полным квадратом разности. Оно соответствует формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=10$.

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 10 + 10^2 = (x-10)^2$

Следовательно, исходное выражение можно переписать в виде:

$-(x-10)^2$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $(x-10)^2 \ge 0$ при любом значении $x$.

Если перед неотрицательным выражением стоит знак минус, то результат будет неположительным, то есть $-(x-10)^2 \le 0$.

Данное выражение равно нулю при $x=10$ и отрицательно при всех остальных значениях $x$. Таким образом, оно никогда не принимает положительных значений.

Ответ: нет, не может.

2) Рассмотрим выражение $-x^2 - 10 - 4x$. Для удобства анализа запишем его в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степеней переменной $x$:

$-x^2 - 4x - 10$

Чтобы определить знак этого выражения при любых значениях $x$, преобразуем его методом выделения полного квадрата. Сначала вынесем минус за скобки:

$-(x^2 + 4x + 10)$

Теперь в скобках выделим полный квадрат. Для выражения $x^2 + 4x$ не хватает слагаемого $(\frac{4}{2})^2 = 4$, чтобы получился полный квадрат суммы. Добавим и вычтем это число внутри скобок:

$-(x^2 + 4x + 4 - 4 + 10) = -((x^2 + 4x + 4) + 6)$

Сгруппировав первые три слагаемых, получаем полный квадрат:

$-((x+2)^2 + 6)$

Раскроем скобки:

$-(x+2)^2 - 6$

Выражение $(x+2)^2$ как квадрат действительного числа всегда неотрицательно: $(x+2)^2 \ge 0$.

Соответственно, выражение $-(x+2)^2$ всегда неположительно: $-(x+2)^2 \le 0$.

Если из неположительного числа вычесть 6, то результат всегда будет меньше или равен -6:

$-(x+2)^2 - 6 \le 0 - 6 = -6$

Максимальное значение данного выражения равно -6 (достигается при $x=-2$). Поскольку даже максимальное значение отрицательно, выражение не может принимать положительных значений.

Ответ: нет, не может.

777. Какое наибольшее значение и при каком значении переменной принимает выражение:

1) $-x^2 - 16x + 36$;

2) $2 - 16x^2 + 24x?

1) Данное выражение $-x^2 - 16x + 36$ является квадратичной функцией $y = ax^2 + bx + c$ с коэффициентами $a = -1$, $b = -16$, $c = 36$.

Графиком этой функции является парабола. Поскольку старший коэффициент $a = -1$ отрицательный, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция имеет наибольшее значение, которое достигается в вершине параболы.

Абсцисса (координата $x$) вершины параболы находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Подставим значения коэффициентов $a$ и $b$:

$x_0 = -\frac{-16}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-16}{-2} = -8$

Таким образом, выражение принимает свое наибольшее значение при $x = -8$.

Для нахождения наибольшего значения подставим $x = -8$ в исходное выражение:

$y_{max} = -(-8)^2 - 16(-8) + 36 = -64 + 128 + 36 = 64 + 36 = 100$.

Другой способ решения — выделение полного квадрата:

$-x^2 - 16x + 36 = -(x^2 + 16x) + 36 = -(x^2 + 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2 - 8^2) + 36 = -((x + 8)^2 - 64) + 36 = -(x + 8)^2 + 64 + 36 = 100 - (x + 8)^2$.

Так как $(x + 8)^2 \ge 0$ для любого $x$, то выражение $100 - (x + 8)^2$ достигает своего максимума, когда вычитаемое $(x + 8)^2$ равно нулю. Это происходит при $x = -8$, и максимальное значение равно $100$.

Ответ: наибольшее значение равно 100 при $x = -8$.

2) Рассмотрим выражение $2 - 16x^2 + 24x$. Для удобства запишем его в стандартном виде: $-16x^2 + 24x + 2$.

Это также квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$ с коэффициентами $a = -16$, $b = 24$, $c = 2$.

Поскольку $a = -16 < 0$, ветви параболы направлены вниз, и функция достигает своего наибольшего значения в вершине.

Найдем абсциссу вершины по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{24}{2 \cdot (-16)} = -\frac{24}{-32} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}$.

Выражение принимает наибольшее значение при $x = \frac{3}{4}$.

Найдем это наибольшее значение, подставив $x = \frac{3}{4}$ в выражение:

$y_{max} = -16\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 24\left(\frac{3}{4}\right) + 2 = -16\left(\frac{9}{16}\right) + \frac{24 \cdot 3}{4} + 2 = -9 + 6 \cdot 3 + 2 = -9 + 18 + 2 = 11$.

Альтернативное решение через выделение полного квадрата:

$-16x^2 + 24x + 2 = -16\left(x^2 - \frac{24}{16}x\right) + 2 = -16\left(x^2 - \frac{3}{2}x\right) + 2 = -16\left(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{3}{4} + \left(\frac{3}{4}\right)^2 - \left(\frac{3}{4}\right)^2\right) + 2 = -16\left(\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 - \frac{9}{16}\right) + 2 = -16\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 + 16 \cdot \frac{9}{16} + 2 = -16\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 + 9 + 2 = 11 - 16\left(x - \frac{3}{4}\right)^2$.

Максимальное значение достигается, когда $16\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 = 0$, то есть при $x = \frac{3}{4}$. Это значение равно $11$.

Ответ: наибольшее значение равно 11 при $x = \frac{3}{4}$.

778. Какое наименьшее значение и при каком значении переменной принимает выражение:

1) $x^2 - 28x + 200$;

2) $9x^2 + 30x - 25?

1) Чтобы найти наименьшее значение выражения $x^2 - 28x + 200$, нужно преобразовать его, выделив полный квадрат. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$), график этой квадратичной функции — парабола, ветви которой направлены вверх, а значит, у выражения есть наименьшее значение в вершине параболы.

Метод выделения полного квадрата заключается в представлении выражения в виде $a(x-h)^2+k$.

$x^2 - 28x + 200 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 14) + 200$

Для создания полного квадрата $(x-14)^2 = x^2 - 28x + 196$, нам нужно добавить и отнять $14^2 = 196$:

$(x^2 - 28x + 196) - 196 + 200 = (x - 14)^2 + 4$

Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому $(x - 14)^2 \ge 0$. Наименьшее значение этого слагаемого равно 0. Оно достигается, когда основание степени равно нулю:

$x - 14 = 0$, то есть $x = 14$.

При этом значении $x$ все выражение принимает свое наименьшее значение: $0 + 4 = 4$.

Ответ: наименьшее значение равно 4 при $x = 14$.

2) Чтобы найти наименьшее значение выражения $9x^2 + 30x - 25$, также выделим полный квадрат. Коэффициент при $x^2$ равен 9, что больше нуля, поэтому парабола направлена ветвями вверх и выражение имеет наименьшее значение.

Вынесем коэффициент 9 за скобки из первых двух слагаемых:

$9x^2 + 30x - 25 = 9(x^2 + \frac{30}{9}x) - 25 = 9(x^2 + \frac{10}{3}x) - 25$

Теперь выделим полный квадрат для выражения в скобках. Для этого представим $\frac{10}{3}x$ как удвоенное произведение: $2 \cdot x \cdot \frac{5}{3}$. Чтобы получить полный квадрат, добавим и вычтем квадрат второго члена, то есть $(\frac{5}{3})^2 = \frac{25}{9}$:

$9\left(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{5}{3} + \left(\frac{5}{3}\right)^2 - \left(\frac{5}{3}\right)^2\right) - 25 = 9\left(\left(x + \frac{5}{3}\right)^2 - \frac{25}{9}\right) - 25$

Теперь раскроем внешние скобки:

$9\left(x + \frac{5}{3}\right)^2 - 9 \cdot \frac{25}{9} - 25 = 9\left(x + \frac{5}{3}\right)^2 - 25 - 25 = 9\left(x + \frac{5}{3}\right)^2 - 50$

Слагаемое $9(x + \frac{5}{3})^2$ всегда неотрицательно. Его наименьшее значение равно 0 и достигается при $x + \frac{5}{3} = 0$, то есть при $x = -\frac{5}{3}$.

При этом значении $x$ все выражение принимает свое наименьшее значение: $0 - 50 = -50$.

Ответ: наименьшее значение равно -50 при $x = -\frac{5}{3}$.

779. Представьте многочлен $\frac{81}{16} x^4 + y^8 - \frac{9}{2} x^2 y^4$ в виде произведения квадратов двух двучленов.

Для того чтобы представить многочлен в виде произведения квадратов двух двучленов, мы сначала преобразуем данное выражение, используя формулы сокращенного умножения.

Исходный многочлен: $ \frac{81}{16}x^4 + y^8 - \frac{9}{2}x^2y^4 $.

Переставим слагаемые для удобства, чтобы выражение напоминало формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:

$ \displaystyle \frac{81}{16}x^4 - \frac{9}{2}x^2y^4 + y^8 $

Определим, что в нашем случае может быть $a$ и $b$. Первый член $ \frac{81}{16}x^4 $ можно представить как квадрат выражения $ \frac{9}{4}x^2 $, так как $ (\frac{9}{4}x^2)^2 = \frac{81}{16}x^4 $. Третий член $ y^8 $ можно представить как квадрат выражения $ y^4 $, так как $ (y^4)^2 = y^8 $.

Теперь проверим, соответствует ли средний член $ -\frac{9}{2}x^2y^4 $ удвоенному произведению $ -2ab $:

$ \displaystyle -2 \cdot \left(\frac{9}{4}x^2\right) \cdot (y^4) = -\frac{18}{4}x^2y^4 = -\frac{9}{2}x^2y^4 $

Средний член совпадает. Следовательно, наш многочлен является полным квадратом разности. Таким образом, мы можем свернуть выражение по формуле квадрата разности:

$ \displaystyle \frac{81}{16}x^4 - \frac{9}{2}x^2y^4 + y^8 = \left(\frac{9}{4}x^2 - y^4\right)^2 $

Теперь нам нужно представить полученное выражение в виде произведения квадратов двух двучленов. Для этого заметим, что выражение в скобках $ \frac{9}{4}x^2 - y^4 $ само является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $c^2 - d^2 = (c-d)(c+d)$.

В нашем случае $ c^2 = \frac{9}{4}x^2 $, значит $ c = \frac{3}{2}x $. А $ d^2 = y^4 $, значит $ d = y^2 $. Тогда:

$ \displaystyle \frac{9}{4}x^2 - y^4 = \left(\frac{3}{2}x - y^2\right)\left(\frac{3}{2}x + y^2\right) $

Подставим это разложение обратно в наше выражение в квадрате:

$ \displaystyle \left(\frac{9}{4}x^2 - y^4\right)^2 = \left( \left(\frac{3}{2}x - y^2\right)\left(\frac{3}{2}x + y^2\right) \right)^2 $

Используя свойство степени $ (xy)^n = x^n y^n $, мы можем раскрыть скобки и получить произведение квадратов двух двучленов:

$ \displaystyle \left(\frac{3}{2}x - y^2\right)^2 \left(\frac{3}{2}x + y^2\right)^2 $

Таким образом, мы представили исходный многочлен в требуемом виде.

Ответ: $ \left(\frac{3}{2}x - y^2\right)^2 \left(\frac{3}{2}x + y^2\right)^2 $

780. Представьте в виде суммы квадратов двух выражений многочлен:

1) $2a^2 - 2a + 1;$

2) $a^2 + b^2 + 2a + 2b + 2;$

3) $x^2 + 6x + y^2 - 2y + 10;$

4) $10x^2 - 6xy + y^2;$

5) $x^2 + 5y^2 + 4xy - 4y + 4;$

6) $2a^2 + 2b^2.$

1) Для того чтобы представить многочлен $2a^2 - 2a + 1$ в виде суммы квадратов, представим $2a^2$ как $a^2 + a^2$:
$2a^2 - 2a + 1 = a^2 + a^2 - 2a + 1$
Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$a^2 + (a^2 - 2a + 1) = a^2 + (a-1)^2$
Таким образом, мы представили многочлен в виде суммы квадратов двух выражений.
Ответ: $a^2 + (a-1)^2$

2) Рассмотрим многочлен $a^2 + b^2 + 2a + 2b + 2$. Сгруппируем слагаемые, содержащие $a$ и $b$, и представим константу $2$ как $1+1$:
$a^2 + b^2 + 2a + 2b + 2 = (a^2 + 2a) + (b^2 + 2b) + 1 + 1$
Перераспределим единицы для выделения полных квадратов для каждой переменной:
$(a^2 + 2a + 1) + (b^2 + 2b + 1)$
Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$(a+1)^2 + (b+1)^2$
Ответ: $(a+1)^2 + (b+1)^2$

3) Рассмотрим многочлен $x^2 + 6x + y^2 - 2y + 10$. Сгруппируем слагаемые по переменным $x$ и $y$ и представим константу $10$ как $9+1$:
$x^2 + 6x + y^2 - 2y + 10 = (x^2 + 6x) + (y^2 - 2y) + 9 + 1$
Перераспределим константы для выделения полных квадратов:
$(x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 2y + 1)$
Используем формулы квадрата суммы и квадрата разности:
$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) + (y^2 - 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2) = (x+3)^2 + (y-1)^2$
Ответ: $(x+3)^2 + (y-1)^2$

4) Рассмотрим многочлен $10x^2 - 6xy + y^2$. Чтобы выделить полный квадрат, заметим, что $-6xy$ может быть удвоенным произведением, например, $-2 \cdot (3x) \cdot y$.
Для квадрата разности $(3x-y)^2$ нам нужны слагаемые $(3x)^2 = 9x^2$ и $y^2$.
Представим $10x^2$ как $9x^2 + x^2$:
$10x^2 - 6xy + y^2 = (9x^2 - 6xy + y^2) + x^2$
Сгруппировав первые три слагаемых, получаем полный квадрат:
$(9x^2 - 6xy + y^2) + x^2 = (3x-y)^2 + x^2$
Ответ: $(3x-y)^2 + x^2$

5) Рассмотрим многочлен $x^2 + 5y^2 + 4xy - 4y + 4$. Слагаемое $4xy$ подсказывает, что нужно выделить квадрат, содержащий $x$ и $y$.
Попробуем выделить квадрат суммы $(x+2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2$.
Для этого представим $5y^2$ как $4y^2 + y^2$:
$x^2 + 5y^2 + 4xy - 4y + 4 = (x^2 + 4xy + 4y^2) + y^2 - 4y + 4$
Первая группа слагаемых является полным квадратом $(x+2y)^2$. Оставшиеся слагаемые, $y^2 - 4y + 4$, также являются полным квадратом $(y-2)^2$.
$(x^2 + 4xy + 4y^2) + (y^2 - 4y + 4) = (x+2y)^2 + (y-2)^2$
Ответ: $(x+2y)^2 + (y-2)^2$

6) Рассмотрим многочлен $2a^2 + 2b^2$. Для его представления в виде суммы квадратов воспользуемся тождеством $(x+y)^2 + (x-y)^2 = 2x^2 + 2y^2$.
Подставив $a$ вместо $x$ и $b$ вместо $y$, получим:
$2a^2 + 2b^2 = (a+b)^2 + (a-b)^2$
Можно прийти к этому и по-другому, прибавив и вычтя $2ab$:
$2a^2 + 2b^2 = a^2 + a^2 + b^2 + b^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2) = (a+b)^2 + (a-b)^2$
Ответ: $(a+b)^2 + (a-b)^2$