Номер 774, страница 132 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 774, страница 132.

Условие.

774. Может ли принимать отрицательные значения выражение:

1) $x^2 - 24x + 144$;

2) $4x^2 + 20x + 28?$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы определить, может ли выражение $x^2 - 24x + 144$ принимать отрицательные значения, преобразуем его, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном выражении $a^2 = x^2$, что означает $a=x$, а $b^2 = 144$, что означает $b=12$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 12 = 24x$.

Следовательно, выражение является полным квадратом:

$x^2 - 24x + 144 = (x - 12)^2$

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной, то есть $(x - 12)^2 \ge 0$ при любом значении $x$. Минимальное значение этого выражения равно 0 (достигается при $x=12$), но оно никогда не может быть отрицательным.

Ответ: нет, не может.

2) Рассмотрим выражение $4x^2 + 20x + 28$. Чтобы определить его знак, преобразуем его методом выделения полного квадрата.

Сначала вынесем общий множитель 4 за скобки:

$4x^2 + 20x + 28 = 4(x^2 + 5x + 7)$

Теперь выделим полный квадрат для выражения в скобках $x^2 + 5x + 7$. Для этого добавим и вычтем $(\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$:

$x^2 + 5x + 7 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{5}{2} + \frac{25}{4}) - \frac{25}{4} + 7 = (x + \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + \frac{28}{4} = (x + \frac{5}{2})^2 + \frac{3}{4}$

Подставим это обратно в исходное выражение:

$4 \left( (x + \frac{5}{2})^2 + \frac{3}{4} \right) = 4(x + \frac{5}{2})^2 + 4 \cdot \frac{3}{4} = 4(x + \frac{5}{2})^2 + 3$

Поскольку выражение $(x + \frac{5}{2})^2$ всегда больше или равно нулю, то $4(x + \frac{5}{2})^2 \ge 0$. Следовательно, наименьшее значение всего выражения $4(x + \frac{5}{2})^2 + 3$ равно $0 + 3 = 3$.

Так как минимальное значение выражения равно 3 (что является положительным числом), оно не может принимать отрицательные значения.

Ответ: нет, не может.