Номер 781, страница 133 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 781, страница 133.

Условие.

781. Докажите, что выражение $(a - 3b)(a - 3b - 4) + 4$ принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Доказательство:

Чтобы доказать, что выражение $(a - 3b)(a - 3b - 4) + 4$ принимает неотрицательные значения, преобразуем его. Для упрощения введем замену переменной. Пусть $t = a - 3b$. Тогда исходное выражение можно переписать в следующем виде:

$t(t - 4) + 4$

Теперь раскроем скобки в полученном выражении:

$t \cdot t - t \cdot 4 + 4 = t^2 - 4t + 4$

Полученный трехчлен $t^2 - 4t + 4$ представляет собой формулу сокращенного умножения, а именно квадрат разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Свернем выражение по этой формуле:

$t^2 - 2 \cdot t \cdot 2 + 2^2 = (t - 2)^2$

Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $t$ его первоначальное значение $a - 3b$:

$(t - 2)^2 = (a - 3b - 2)^2$

Таким образом, исходное выражение $(a - 3b)(a - 3b - 4) + 4$ тождественно равно выражению $(a - 3b - 2)^2$.

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным, то есть большим или равным нулю. Поскольку переменные $a$ и $b$ могут принимать любые значения, выражение в скобках $(a - 3b - 2)$ будет действительным числом. Следовательно, его квадрат $(a - 3b - 2)^2$ всегда будет принимать неотрицательное значение:

$(a - 3b - 2)^2 \ge 0$

Это доказывает, что исходное выражение принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных $a$ и $b$.

Ответ: Исходное выражение можно преобразовать к виду $(a - 3b - 2)^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, данное выражение всегда будет больше или равно нулю при любых значениях переменных $a$ и $b$.