Номер 776, страница 132 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 776, страница 132.

Условие.

776. Может ли принимать положительные значения выражение:

1) $-x^2 + 20x - 100;$

2) $-x^2 - 10 - 4x?$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы определить, может ли выражение $-x^2 + 20x - 100$ принимать положительные значения, преобразуем его. Для этого вынесем знак минус за скобки:

$-x^2 + 20x - 100 = -(x^2 - 20x + 100)$

Заметим, что выражение в скобках, $x^2 - 20x + 100$, является полным квадратом разности. Оно соответствует формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=10$.

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 10 + 10^2 = (x-10)^2$

Следовательно, исходное выражение можно переписать в виде:

$-(x-10)^2$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $(x-10)^2 \ge 0$ при любом значении $x$.

Если перед неотрицательным выражением стоит знак минус, то результат будет неположительным, то есть $-(x-10)^2 \le 0$.

Данное выражение равно нулю при $x=10$ и отрицательно при всех остальных значениях $x$. Таким образом, оно никогда не принимает положительных значений.

Ответ: нет, не может.

2) Рассмотрим выражение $-x^2 - 10 - 4x$. Для удобства анализа запишем его в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степеней переменной $x$:

$-x^2 - 4x - 10$

Чтобы определить знак этого выражения при любых значениях $x$, преобразуем его методом выделения полного квадрата. Сначала вынесем минус за скобки:

$-(x^2 + 4x + 10)$

Теперь в скобках выделим полный квадрат. Для выражения $x^2 + 4x$ не хватает слагаемого $(\frac{4}{2})^2 = 4$, чтобы получился полный квадрат суммы. Добавим и вычтем это число внутри скобок:

$-(x^2 + 4x + 4 - 4 + 10) = -((x^2 + 4x + 4) + 6)$

Сгруппировав первые три слагаемых, получаем полный квадрат:

$-((x+2)^2 + 6)$

Раскроем скобки:

$-(x+2)^2 - 6$

Выражение $(x+2)^2$ как квадрат действительного числа всегда неотрицательно: $(x+2)^2 \ge 0$.

Соответственно, выражение $-(x+2)^2$ всегда неположительно: $-(x+2)^2 \le 0$.

Если из неположительного числа вычесть 6, то результат всегда будет меньше или равен -6:

$-(x+2)^2 - 6 \le 0 - 6 = -6$

Максимальное значение данного выражения равно -6 (достигается при $x=-2$). Поскольку даже максимальное значение отрицательно, выражение не может принимать положительных значений.

Ответ: нет, не может.