Страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

814. Выполните умножение:

1) $(b - 4)(b^2 + 4b + 16)$

2) $(2a + 3b)(4a^2 - 6ab + 9b^2)$

3) $(x^3 + 6y^2)(x^6 - 6x^3y^2 + 36y^4)$

4) $(\frac{1}{4} a - \frac{1}{5} b)(\frac{1}{16} a^2 + \frac{1}{20} ab + \frac{1}{25} b^2)$

1) $(b-4)(b^2+4b+16)$

Данное выражение соответствует формуле сокращенного умножения "разность кубов": $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3-y^3$. В данном случае $x=b$ и $y=4$.

Проверим, соответствует ли второй множитель $(b^2+4b+16)$ шаблону $(x^2+xy+y^2)$.
Квадрат первого члена: $x^2 = b^2$.
Произведение первого и второго членов: $xy = b \cdot 4 = 4b$.
Квадрат второго члена: $y^2 = 4^2 = 16$.
Все части совпадают.

Применяем формулу разности кубов:

$(b-4)(b^2+4b+16) = b^3 - 4^3 = b^3 - 64$.

Ответ: $b^3-64$.

2) $(2a+3b)(4a^2-6ab+9b^2)$

Это выражение является формулой "сумма кубов": $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3$. Здесь $x=2a$ и $y=3b$.

Проверим второй множитель $(4a^2-6ab+9b^2)$ на соответствие шаблону $(x^2-xy+y^2)$.
Квадрат первого члена: $x^2 = (2a)^2 = 4a^2$.
Произведение первого и второго членов: $xy = (2a)(3b) = 6ab$.
Квадрат второго члена: $y^2 = (3b)^2 = 9b^2$.
Все части совпадают.

Применяем формулу суммы кубов:

$(2a+3b)(4a^2-6ab+9b^2) = (2a)^3 + (3b)^3 = 8a^3 + 27b^3$.

Ответ: $8a^3+27b^3$.

3) $(x^3+6y^2)(x^6-6x^3y^2+36y^4)$

Это также формула "сумма кубов": $(A+B)(A^2-AB+B^2) = A^3+B^3$. В этом примере $A=x^3$ и $B=6y^2$.

Проверим второй множитель $(x^6-6x^3y^2+36y^4)$ на соответствие шаблону $(A^2-AB+B^2)$.
Квадрат первого члена: $A^2 = (x^3)^2 = x^6$.
Произведение первого и второго членов: $AB = (x^3)(6y^2) = 6x^3y^2$.
Квадрат второго члена: $B^2 = (6y^2)^2 = 36y^4$.
Все части совпадают.

Применяем формулу:

$(x^3+6y^2)(x^6-6x^3y^2+36y^4) = (x^3)^3 + (6y^2)^3 = x^9 + 216y^6$.

Ответ: $x^9+216y^6$.

4) $(\frac{1}{4}a - \frac{1}{5}b)(\frac{1}{16}a^2 + \frac{1}{20}ab + \frac{1}{25}b^2)$

Это выражение соответствует формуле "разность кубов": $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3-y^3$. Здесь $x=\frac{1}{4}a$ и $y=\frac{1}{5}b$.

Проверим второй множитель $(\frac{1}{16}a^2 + \frac{1}{20}ab + \frac{1}{25}b^2)$ на соответствие шаблону $(x^2+xy+y^2)$.
Квадрат первого члена: $x^2 = (\frac{1}{4}a)^2 = \frac{1}{16}a^2$.
Произведение первого и второго членов: $xy = (\frac{1}{4}a)(\frac{1}{5}b) = \frac{1}{20}ab$.
Квадрат второго члена: $y^2 = (\frac{1}{5}b)^2 = \frac{1}{25}b^2$.
Все части совпадают.

Применяем формулу разности кубов:

$(\frac{1}{4}a - \frac{1}{5}b)(\frac{1}{16}a^2 + \frac{1}{20}ab + \frac{1}{25}b^2) = (\frac{1}{4}a)^3 - (\frac{1}{5}b)^3 = \frac{1}{64}a^3 - \frac{1}{125}b^3$.

Ответ: $\frac{1}{64}a^3-\frac{1}{125}b^3$.

815. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $(9a^2 + 3a + 1)(3a - 1)$, если $a = \frac{1}{3}$.

2) $(5y - 2)(25y^2 + 10y + 4) + 8$, если $y = -\frac{1}{5}$.

1) Сначала упростим выражение $(9a^2 + 3a + 1)(3a - 1)$. Это выражение соответствует формуле разности кубов $(x^3 - y^3) = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$. В данном случае, если $x = 3a$ и $y = 1$, то выражение $(9a^2 + 3a + 1)(3a - 1)$ можно представить как $((3a)^2 + 3a \cdot 1 + 1^2)(3a - 1)$, что равно $(3a)^3 - 1^3$.
Упростим полученное выражение: $(3a)^3 - 1^3 = 27a^3 - 1$.
Теперь найдем значение этого выражения при $a = \frac{1}{3}$. Подставим значение $a$ в упрощенное выражение:
$27a^3 - 1 = 27 \cdot (\frac{1}{3})^3 - 1 = 27 \cdot \frac{1}{27} - 1 = 1 - 1 = 0$.
Ответ: 0

2) Сначала упростим выражение $(5y - 2)(25y^2 + 10y + 4) + 8$. Первая часть выражения, $(5y - 2)(25y^2 + 10y + 4)$, является формулой разности кубов $(x^3 - y^3) = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$. Здесь $x=5y$ и $y=2$. Проверим: $x^2 = (5y)^2 = 25y^2$, $xy = 5y \cdot 2 = 10y$, $y^2 = 2^2 = 4$. Таким образом, $(5y - 2)(25y^2 + 10y + 4) = (5y)^3 - 2^3 = 125y^3 - 8$.
Теперь вернемся к исходному выражению и подставим упрощенную часть:
$(125y^3 - 8) + 8 = 125y^3 - 8 + 8 = 125y^3$.
Найдем значение полученного выражения при $y = -\frac{1}{5}$. Подставим значение $y$:
$125y^3 = 125 \cdot (-\frac{1}{5})^3 = 125 \cdot (-\frac{1^3}{5^3}) = 125 \cdot (-\frac{1}{125}) = -1$.
Ответ: -1

816. Найдите значение выражения:

1) $(1 - b^2)(1 + b^2 + b^4)$, если $b = -2$;

2) $2x^3 + 7 - (x + 1)(x^2 - x + 1)$, если $x = -1$.

1) Найдите значение выражения $(1 - b^2)(1 + b^2 + b^4)$, если $b = -2$.

Для решения этой задачи можно упростить исходное выражение, используя формулы сокращенного умножения, а именно формулу разности кубов: $a^3 - c^3 = (a - c)(a^2 + ac + c^2)$.

В данном выражении можно сделать замену: пусть $a = 1$ и $c = b^2$. Тогда выражение $(1 - b^2)(1 + b^2 + b^4)$ можно представить в следующем виде:

$(1 - b^2)(1^2 + 1 \cdot b^2 + (b^2)^2) = (1 - b^2)(1 + b^2 + b^4)$

Это полностью соответствует правой части формулы разности кубов. Следовательно, мы можем "свернуть" это выражение:

$(1 - b^2)(1 + b^2 + b^4) = 1^3 - (b^2)^3 = 1 - b^6$.

Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него значение $b = -2$:

$1 - b^6 = 1 - (-2)^6$

Вычислим $(-2)^6$:

$(-2)^6 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 64$.

Подставим результат обратно в выражение:

$1 - 64 = -63$.

Ответ: -63

2) Найдите значение выражения $2x^3 + 7 - (x + 1)(x^2 - x + 1)$, если $x = -1$.

Сначала упростим данное выражение. Обратим внимание на его часть $(x + 1)(x^2 - x + 1)$. Это выражение соответствует формуле суммы кубов: $a^3 + c^3 = (a + c)(a^2 - ac + c^2)$.

В нашем случае, если мы примем $a = x$ и $c = 1$, то получим:

$(x + 1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2) = (x + 1)(x^2 - x + 1)$

Таким образом, эту часть выражения можно "свернуть" по формуле суммы кубов:

$(x + 1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1^3 = x^3 + 1$.

Теперь подставим это упрощение в исходное выражение:

$2x^3 + 7 - (x^3 + 1)$

Раскроем скобки (обращая внимание на знак "минус" перед ними):

$2x^3 + 7 - x^3 - 1$

Приведем подобные слагаемые:

$(2x^3 - x^3) + (7 - 1) = x^3 + 6$.

Теперь подставим значение $x = -1$ в полученное упрощенное выражение $x^3 + 6$:

$(-1)^3 + 6 = -1 + 6 = 5$.

Ответ: 5

817. Разложите на множители:

1) $(a+6)^3 - 27;$

2) $(2x-1)^3 + 64;$

3) $8a^6 - (4a-3)^3;$

4) $1000 + (y-10)^3;$

5) $(x+y)^3 - (x-y)^3;$

6) $(a-2)^3 + (a+2)^3.$

1) Для разложения выражения $(a + 6)^3 - 27$ на множители воспользуемся формулой разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
В данном случае $A = a + 6$ и $B = 3$, так как $27 = 3^3$.
Подставим эти значения в формулу:
$(a + 6)^3 - 3^3 = ((a + 6) - 3)((a + 6)^2 + (a + 6) \cdot 3 + 3^2)$.
Упростим каждый множитель:
Первый множитель: $a + 6 - 3 = a + 3$.
Второй множитель: $(a + 6)^2 + 3(a + 6) + 9 = (a^2 + 12a + 36) + (3a + 18) + 9 = a^2 + 12a + 3a + 36 + 18 + 9 = a^2 + 15a + 63$.
Таким образом, получаем: $(a + 3)(a^2 + 15a + 63)$.
Ответ: $(a + 3)(a^2 + 15a + 63)$.

2) Для разложения выражения $(2x - 1)^3 + 64$ на множители применим формулу суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.
Здесь $A = 2x - 1$ и $B = 4$, так как $64 = 4^3$.
Подставляем в формулу:
$((2x - 1) + 4)((2x - 1)^2 - (2x - 1) \cdot 4 + 4^2)$.
Упрощаем каждый множитель:
Первый множитель: $2x - 1 + 4 = 2x + 3$.
Второй множитель: $(4x^2 - 4x + 1) - (8x - 4) + 16 = 4x^2 - 4x + 1 - 8x + 4 + 16 = 4x^2 - 12x + 21$.
Итоговый результат: $(2x + 3)(4x^2 - 12x + 21)$.
Ответ: $(2x + 3)(4x^2 - 12x + 21)$.

3) Выражение $8a^6 - (4a - 3)^3$ представляет собой разность кубов. Сначала представим $8a^6$ в виде куба: $8a^6 = (2a^2)^3$.
Используем формулу $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A = 2a^2$ и $B = 4a - 3$.
Подставляем:
$(2a^2 - (4a - 3))((2a^2)^2 + 2a^2(4a - 3) + (4a - 3)^2)$.
Упрощаем каждый множитель:
Первый множитель: $2a^2 - 4a + 3$.
Второй множитель: $4a^4 + (8a^3 - 6a^2) + (16a^2 - 24a + 9) = 4a^4 + 8a^3 - 6a^2 + 16a^2 - 24a + 9 = 4a^4 + 8a^3 + 10a^2 - 24a + 9$.
В результате получаем: $(2a^2 - 4a + 3)(4a^4 + 8a^3 + 10a^2 - 24a + 9)$.
Ответ: $(2a^2 - 4a + 3)(4a^4 + 8a^3 + 10a^2 - 24a + 9)$.

4) Выражение $1000 + (y - 10)^3$ является суммой кубов. Представим $1000$ как $10^3$.
Применим формулу $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$, где $A = 10$ и $B = y - 10$.
Подставляем:
$(10 + (y - 10))(10^2 - 10(y - 10) + (y - 10)^2)$.
Упрощаем каждый множитель:
Первый множитель: $10 + y - 10 = y$.
Второй множитель: $100 - (10y - 100) + (y^2 - 20y + 100) = 100 - 10y + 100 + y^2 - 20y + 100 = y^2 - 30y + 300$.
Получаем: $y(y^2 - 30y + 300)$.
Ответ: $y(y^2 - 30y + 300)$.

5) Выражение $(x + y)^3 - (x - y)^3$ является разностью кубов.
Используем формулу $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A = x + y$ и $B = x - y$.
Подставляем:
$((x + y) - (x - y))((x + y)^2 + (x + y)(x - y) + (x - y)^2)$.
Упрощаем каждый множитель:
Первый множитель: $x + y - x + y = 2y$.
Второй множитель: $(x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 - y^2) + (x^2 - 2xy + y^2)$. Сгруппируем подобные члены: $(x^2 + x^2 + x^2) + (2xy - 2xy) + (y^2 - y^2 + y^2) = 3x^2 + y^2$.
Итоговое выражение: $2y(3x^2 + y^2)$.
Ответ: $2y(3x^2 + y^2)$.

6) Выражение $(a - 2)^3 + (a + 2)^3$ представляет собой сумму кубов.
Используем формулу $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$, где $A = a - 2$ и $B = a + 2$.
Подставляем:
$((a - 2) + (a + 2))((a - 2)^2 - (a - 2)(a + 2) + (a + 2)^2)$.
Упрощаем каждый множитель:
Первый множитель: $a - 2 + a + 2 = 2a$.
Второй множитель: $(a^2 - 4a + 4) - (a^2 - 4) + (a^2 + 4a + 4)$. Раскроем скобки: $a^2 - 4a + 4 - a^2 + 4 + a^2 + 4a + 4$. Сгруппируем подобные члены: $(a^2 - a^2 + a^2) + (-4a + 4a) + (4 + 4 + 4) = a^2 + 12$.
Итоговое выражение: $2a(a^2 + 12)$.
Ответ: $2a(a^2 + 12)$.

818. Представьте в виде произведения выражение:

1) $(b-5)^3 + 125;$

2) $(4-3x)^3 - 8x^3;$

3) $(a-b)^3 + (a+b)^3;$

4) $(c+3)^3 - (c-3)^3.$

Для решения данных задач используются формулы суммы и разности кубов:

• Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
• Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

1) $(b-5)^3+125$

Представим выражение в виде суммы кубов. Заметим, что $125 = 5^3$. Тогда выражение принимает вид $(b-5)^3+5^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $a = b-5$ и $b = 5$.

$(b-5)^3+5^3 = ((b-5)+5)((b-5)^2 - (b-5) \cdot 5 + 5^2)$

Упростим первую скобку:

$b-5+5 = b$

Упростим вторую скобку:

$(b^2 - 10b + 25) - (5b - 25) + 25 = b^2 - 10b + 25 - 5b + 25 + 25 = b^2 - 15b + 75$

Получаем произведение:

$b(b^2 - 15b + 75)$

Ответ: $b(b^2 - 15b + 75)$.

2) $(4-3x)^3-8x^3$

Представим выражение в виде разности кубов. Заметим, что $8x^3 = (2x)^3$. Тогда выражение принимает вид $(4-3x)^3-(2x)^3$.

Применим формулу разности кубов, где $a = 4-3x$ и $b = 2x$.

$(4-3x)^3-(2x)^3 = ((4-3x)-2x)((4-3x)^2 + (4-3x) \cdot 2x + (2x)^2)$

Упростим первую скобку:

$4-3x-2x = 4-5x$

Упростим вторую скобку:

$(16 - 24x + 9x^2) + (8x - 6x^2) + 4x^2 = 16 - 24x + 9x^2 + 8x - 6x^2 + 4x^2 = 7x^2 - 16x + 16$

Получаем произведение:

$(4-5x)(7x^2 - 16x + 16)$

Ответ: $(4-5x)(7x^2 - 16x + 16)$.

3) $(a-b)^3+(a+b)^3$

Это выражение является суммой кубов, где в качестве первого слагаемого выступает $(a-b)$, а в качестве второго — $(a+b)$.

Применим формулу суммы кубов $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$, где $A = a-b$ и $B = a+b$.

$((a-b)+(a+b))((a-b)^2 - (a-b)(a+b) + (a+b)^2)$

Упростим первую скобку:

$a-b+a+b = 2a$

Упростим вторую скобку, используя формулы квадрата разности, разности квадратов и квадрата суммы:

$(a^2-2ab+b^2) - (a^2-b^2) + (a^2+2ab+b^2) = a^2-2ab+b^2-a^2+b^2+a^2+2ab+b^2 = a^2+3b^2$

Получаем произведение:

$2a(a^2+3b^2)$

Ответ: $2a(a^2+3b^2)$.

4) $(c+3)^3-(c-3)^3$

Это выражение является разностью кубов, где $A = c+3$ и $B = c-3$.

Применим формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$.

$((c+3)-(c-3))((c+3)^2 + (c+3)(c-3) + (c-3)^2)$

Упростим первую скобку:

$c+3-c+3 = 6$

Упростим вторую скобку, используя формулы сокращенного умножения:

$(c^2+6c+9) + (c^2-9) + (c^2-6c+9) = c^2+6c+9+c^2-9+c^2-6c+9 = 3c^2+9$

Получаем произведение:

$6(3c^2+9)$

Вынесем общий множитель 3 из второй скобки:

$6 \cdot 3(c^2+3) = 18(c^2+3)$

Ответ: $18(c^2+3)$.

819. Упростите выражение:

1) $(x+1)(x^2-x+1)+(2-x)(4+2x+x^2)$

2) $(x-4)(x^2+4x+16)-x(x-5)(x+5)$

3) $a(a-3)^2-(a+3)(a^2-3a+9)$

4) $(a-1)(a+1)(a^2-a+1)(a^2+a+1)(a^6+1)(a^{12}+1)$

1) Для упрощения выражения $(x+1)(x^2 - x + 1) + (2-x)(4 + 2x + x^2)$ воспользуемся формулами сокращенного умножения: суммой кубов $ (a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3 $ и разностью кубов $ (a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3 $.

Первое слагаемое $ (x+1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2) $ является формулой суммы кубов, где $a=x$ и $b=1$. Таким образом, $ (x+1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1^3 = x^3 + 1 $.

Второе слагаемое $ (2-x)(4 + 2x + x^2) $ можно представить как $ (2-x)(2^2 + 2x + x^2) $. Это формула разности кубов, где $a=2$ и $b=x$. Таким образом, $ (2-x)(4 + 2x + x^2) = 2^3 - x^3 = 8 - x^3 $.

Теперь сложим полученные выражения: $ (x^3 + 1) + (8 - x^3) = x^3 + 1 + 8 - x^3 = 9 $.

Ответ: $9$

2) Для упрощения выражения $(x-4)(x^2 + 4x + 16) - x(x-5)(x+5)$ применим формулы разности кубов и разности квадратов.

Первая часть выражения $ (x-4)(x^2 + 4x + 16) $ является формулой разности кубов $ (a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3 $, где $a=x$ и $b=4$. Получаем $ x^3 - 4^3 = x^3 - 64 $.

Вторая часть выражения $ -x(x-5)(x+5) $ содержит произведение $ (x-5)(x+5) $, которое является формулой разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $. Получаем $ x^2 - 5^2 = x^2 - 25 $.

Теперь умножим результат на $-x$: $ -x(x^2 - 25) = -x^3 + 25x $.

Сложим обе упрощенные части: $ (x^3 - 64) + (-x^3 + 25x) = x^3 - 64 - x^3 + 25x = 25x - 64 $.

Ответ: $25x - 64$

3) Для упрощения выражения $a(a-3)^2 - (a+3)(a^2 - 3a + 9)$ раскроем скобки и применим формулы сокращенного умножения.

Раскроем первую часть выражения: $ a(a-3)^2 $. Сначала возведем в квадрат по формуле квадрата разности $ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $: $ (a-3)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 - 6a + 9 $. Затем умножим на $a$: $ a(a^2 - 6a + 9) = a^3 - 6a^2 + 9a $.

Вторая часть выражения $ -(a+3)(a^2 - 3a + 9) $ содержит формулу суммы кубов $ (x+y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3 $, где $x=a$ и $y=3$. Таким образом, $ (a+3)(a^2 - 3a + 9) = a^3 + 3^3 = a^3 + 27 $.

Теперь вычтем вторую часть из первой: $ (a^3 - 6a^2 + 9a) - (a^3 + 27) = a^3 - 6a^2 + 9a - a^3 - 27 = -6a^2 + 9a - 27 $.

Ответ: $-6a^2 + 9a - 27$

4) Для упрощения выражения $(a-1)(a+1)(a^2 - a + 1)(a^2 + a + 1)(a^6 + 1)(a^{12} + 1)$ сгруппируем множители и последовательно применим формулы сокращенного умножения.

Сгруппируем множители следующим образом: $ \left[ (a-1)(a^2 + a + 1) \right] \cdot \left[ (a+1)(a^2 - a + 1) \right] \cdot (a^6 + 1)(a^{12} + 1) $.

Первая группа $ (a-1)(a^2 + a + 1) $ является формулой разности кубов: $ a^3 - 1^3 = a^3 - 1 $.

Вторая группа $ (a+1)(a^2 - a + 1) $ является формулой суммы кубов: $ a^3 + 1^3 = a^3 + 1 $.

Выражение принимает вид: $ (a^3 - 1)(a^3 + 1)(a^6 + 1)(a^{12} + 1) $.

Теперь применим формулу разности квадратов $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $ к первым двум множителям $ (a^3 - 1)(a^3 + 1) $: $ (a^3)^2 - 1^2 = a^6 - 1 $.

Выражение упрощается до: $ (a^6 - 1)(a^6 + 1)(a^{12} + 1) $.

Снова применяем формулу разности квадратов к $ (a^6 - 1)(a^6 + 1) $: $ (a^6)^2 - 1^2 = a^{12} - 1 $.

Выражение становится: $ (a^{12} - 1)(a^{12} + 1) $.

В последний раз применяем формулу разности квадратов: $ (a^{12})^2 - 1^2 = a^{24} - 1 $.

Ответ: $a^{24} - 1$

820. Упростите выражение:

1) $(a-5)(a^2 + 5a + 25) - (a-1)(a^2 + a + 1);$

2) $(y-3)(y^2 + 3y + 9) - y(y-3)(y+3) - (y+3)^2;$

3) $(a-b)(a+b)(a^4 + a^2b^2 + b^4).$

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Первое произведение в выражении, $(a - 5)(a^2 + 5a + 25)$, является разностью кубов, где $x=a$ и $y=5$.
$(a - 5)(a^2 + 5a + 25) = a^3 - 5^3 = a^3 - 125$.

Второе произведение, $(a - 1)(a^2 + a + 1)$, также является разностью кубов, где $x=a$ и $y=1$.
$(a - 1)(a^2 + a + 1) = a^3 - 1^3 = a^3 - 1$.

Теперь выполним вычитание полученных выражений:
$(a^3 - 125) - (a^3 - 1) = a^3 - 125 - a^3 + 1 = -124$.

Ответ: $-124$.

2) Упростим выражение по частям, применяя формулы сокращенного умножения.

Первый член $(y - 3)(y^2 + 3y + 9)$ — это формула разности кубов $y^3 - 3^3 = y^3 - 27$.

Второй член $-y(y - 3)(y + 3)$. Здесь $(y - 3)(y + 3)$ является разностью квадратов $y^2 - 3^2 = y^2 - 9$. Тогда:
$-y(y^2 - 9) = -y^3 + 9y$.

Третий член $-(y + 3)^2$ — это квадрат суммы, взятый с противоположным знаком. Формула квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.
$-(y^2 + 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2) = -(y^2 + 6y + 9) = -y^2 - 6y - 9$.

Теперь сложим все упрощенные части:
$(y^3 - 27) + (-y^3 + 9y) + (-y^2 - 6y - 9) = y^3 - 27 - y^3 + 9y - y^2 - 6y - 9$.

Приведем подобные слагаемые:
$(y^3 - y^3) - y^2 + (9y - 6y) + (-27 - 9) = -y^2 + 3y - 36$.

Ответ: $-y^2 + 3y - 36$.

3) Упростим это выражение, последовательно используя формулы сокращенного умножения.

Сначала преобразуем произведение первых двух скобок $(a - b)(a + b)$ по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Теперь исходное выражение принимает вид:
$(a^2 - b^2)(a^4 + a^2b^2 + b^4)$.

Полученное выражение является формулой разности кубов $X^3 - Y^3 = (X - Y)(X^2 + XY + Y^2)$, если сделать замену $X = a^2$ и $Y = b^2$.
Тогда $(a^2 - b^2)((a^2)^2 + (a^2)(b^2) + (b^2)^2) = (a^2)^3 - (b^2)^3$.

Используя свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$, получаем конечный результат:
$(a^2)^3 - (b^2)^3 = a^6 - b^6$.

Ответ: $a^6 - b^6$.

821. Поставьте вместо звёздочек такие одночлены, чтобы выполнялось тождество:

1) $(7k-p)(*+*+*) = 343k^3 - p^3;$

2) $(*+*)(25a^4 - * + 36b^2) = 125a^6 + 216b^3;$

3) $(mn+*)(*-*+k^6) = m^3n^3 + k^9.$

1) $(7k - p)(* + * + *) = 343k^3 - p^3$

Данное тождество представляет собой формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Правая часть уравнения $343k^3 - p^3$ может быть представлена как $(7k)^3 - p^3$.

Отсюда мы можем определить, что $a = 7k$ и $b = p$.

Первый множитель в левой части, $(7k - p)$, соответствует $(a - b)$.

Второй множитель должен быть неполным квадратом суммы, то есть $(a^2 + ab + b^2)$.

Найдем одночлены, которые должны стоять вместо звёздочек:

Первый одночлен: $a^2 = (7k)^2 = 49k^2$.

Второй одночлен: $ab = (7k)(p) = 7kp$.

Третий одночлен: $b^2 = p^2$.

Таким образом, выражение в скобках будет $(49k^2 + 7kp + p^2)$.

Полное тождество выглядит так: $(7k - p)(49k^2 + 7kp + p^2) = 343k^3 - p^3$.

Ответ: Вместо звёздочек нужно подставить одночлены $49k^2$, $7kp$ и $p^2$.

2) $(* + *)(25a^4 - * + 36b^2) = 125a^6 + 216b^3$

Данное тождество представляет собой формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Правая часть уравнения $125a^6 + 216b^3$ может быть представлена как $(5a^2)^3 + (6b)^3$.

Отсюда мы можем определить, что $a = 5a^2$ и $b = 6b$.

Первый множитель в левой части должен быть суммой этих выражений, то есть $(a + b) = (5a^2 + 6b)$.

Значит, первые две звёздочки — это $5a^2$ и $6b$.

Второй множитель должен быть неполным квадратом разности, то есть $(a^2 - ab + b^2)$.

Проверим известные члены во второй скобке: $a^2 = (5a^2)^2 = 25a^4$ и $b^2 = (6b)^2 = 36b^2$. Они соответствуют заданным.

Найдем недостающий средний член: $-ab = -(5a^2)(6b) = -30a^2b$.

Таким образом, третья звёздочка — это $30a^2b$.

Полное тождество выглядит так: $(5a^2 + 6b)(25a^4 - 30a^2b + 36b^2) = 125a^6 + 216b^3$.

Ответ: Вместо звёздочек нужно подставить одночлены $5a^2$, $6b$ и $30a^2b$.

3) $(mn + *)(* - * + k^6) = m^3n^3 + k^9$

Это тождество также является формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Правая часть уравнения $m^3n^3 + k^9$ может быть представлена как $(mn)^3 + (k^3)^3$.

Отсюда мы можем определить, что $a = mn$ и $b = k^3$.

Первый множитель в левой части должен быть $(a + b) = (mn + k^3)$.

Значит, первая звёздочка — это $k^3$.

Второй множитель должен быть неполным квадратом разности $(a^2 - ab + b^2)$.

Последний член во второй скобке $k^6$ соответствует $b^2 = (k^3)^2 = k^6$.

Найдем недостающие члены во второй скобке:

Первый член: $a^2 = (mn)^2 = m^2n^2$.

Средний член: $ab = (mn)(k^3) = mnk^3$.

Таким образом, вторая скобка имеет вид $(m^2n^2 - mnk^3 + k^6)$.

Полное тождество выглядит так: $(mn + k^3)(m^2n^2 - mnk^3 + k^6) = m^3n^3 + k^9$.

Ответ: Вместо звёздочек нужно подставить одночлены $k^3$, $m^2n^2$ и $mnk^3$.

822. Решите уравнение:

1) $(3x-1)(9x^2+3x+1)-9x(3x^2-4)=17;$

2) $(x+4)(x^2-4x+16)-x(x-7)(x+7)=15;$

3) $(x+6)(x^2-6x+36)-x(x-9)^2=4x(4,5x-13,5).$

1) $(3x-1)(9x^2+3x+1) - 9x(3x^2-4) = 17$
Для упрощения левой части уравнения используем формулы сокращенного умножения.
Первое слагаемое $(3x-1)(9x^2+3x+1)$ является формулой разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$. В нашем случае $a=3x$ и $b=1$.
Получаем: $(3x)^3 - 1^3 = 27x^3 - 1$.
Теперь раскроем скобки во втором слагаемом:
$-9x(3x^2-4) = -9x \cdot 3x^2 - 9x \cdot (-4) = -27x^3 + 36x$.
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$(27x^3 - 1) + (-27x^3 + 36x) = 17$
$27x^3 - 1 - 27x^3 + 36x = 17$
Приведем подобные члены. $27x^3$ и $-27x^3$ взаимно уничтожаются.
$36x - 1 = 17$
Перенесем $-1$ в правую часть уравнения, изменив знак:
$36x = 17 + 1$
$36x = 18$
Найдем $x$:
$x = \frac{18}{36}$
$x = \frac{1}{2} = 0.5$
Ответ: $0.5$.

2) $(x+4)(x^2-4x+16) - x(x-7)(x+7) = 15$
Первое слагаемое $(x+4)(x^2-4x+16)$ является формулой суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$. В нашем случае $a=x$ и $b=4$.
Получаем: $x^3 + 4^3 = x^3 + 64$.
Во втором слагаемом выражение $(x-7)(x+7)$ является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.
Получаем: $x(x-7)(x+7) = x(x^2 - 7^2) = x(x^2 - 49) = x^3 - 49x$.
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$(x^3 + 64) - (x^3 - 49x) = 15$
Раскроем скобки:
$x^3 + 64 - x^3 + 49x = 15$
Приведем подобные члены. $x^3$ и $-x^3$ взаимно уничтожаются.
$64 + 49x = 15$
Перенесем $64$ в правую часть уравнения, изменив знак:
$49x = 15 - 64$
$49x = -49$
Найдем $x$:
$x = \frac{-49}{49}$
$x = -1$
Ответ: $-1$.

3) $(x+6)(x^2-6x+36) - x(x-9)^2 = 4x(4.5x-13.5)$
Первое слагаемое в левой части $(x+6)(x^2-6x+36)$ является формулой суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$. Здесь $a=x$ и $b=6$.
Получаем: $x^3 + 6^3 = x^3 + 216$.
Раскроем второе слагаемое, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:
$-x(x-9)^2 = -x(x^2 - 2 \cdot x \cdot 9 + 9^2) = -x(x^2 - 18x + 81) = -x^3 + 18x^2 - 81x$.
Теперь раскроем скобки в правой части уравнения:
$4x(4.5x-13.5) = 4x \cdot 4.5x - 4x \cdot 13.5 = 18x^2 - 54x$.
Подставим все упрощенные части в исходное уравнение:
$(x^3 + 216) + (-x^3 + 18x^2 - 81x) = 18x^2 - 54x$
Упростим левую часть, раскрыв скобки и приведя подобные члены:
$x^3 + 216 - x^3 + 18x^2 - 81x = 18x^2 - 54x$
$18x^2 - 81x + 216 = 18x^2 - 54x$
Вычтем $18x^2$ из обеих частей уравнения:
$-81x + 216 = -54x$
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа оставим в левой:
$216 = 81x - 54x$
$216 = 27x$
Найдем $x$:
$x = \frac{216}{27}$
$x = 8$
Ответ: $8$.

823. Решите уравнение:

1) $(7-2x)(49+14x+4x^2)+2x(2x-5)(2x+5)=43;$

2) $100(0.2x+1)(0.04x^2-0.2x+1)=5x(0.16x^2-4).$

1) $(7 - 2x)(49 + 14x + 4x^2) + 2x(2x - 5)(2x + 5) = 43$
Упростим левую часть уравнения, используя формулы сокращенного умножения.
Первое слагаемое $(7 - 2x)(49 + 14x + 4x^2)$ представляет собой формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
В нашем случае $a = 7$ и $b = 2x$.
Следовательно, $(7 - 2x)(49 + 14x + 4x^2) = 7^3 - (2x)^3 = 343 - 8x^3$.
Второе слагаемое $2x(2x - 5)(2x + 5)$ содержит произведение вида $(a - b)(a + b)$, что является формулой разности квадратов: $a^2 - b^2$.
Здесь $a = 2x$ и $b = 5$.
Тогда $(2x - 5)(2x + 5) = (2x)^2 - 5^2 = 4x^2 - 25$.
Всё второе слагаемое равно $2x(4x^2 - 25) = 8x^3 - 50x$.
Подставим упрощенные выражения обратно в уравнение:
$(343 - 8x^3) + (8x^3 - 50x) = 43$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$343 - 8x^3 + 8x^3 - 50x = 43$
$343 - 50x = 43$
Перенесем 343 в правую часть уравнения:
$-50x = 43 - 343$
$-50x = -300$
Найдем $x$:
$x = \frac{-300}{-50}$
$x = 6$
Ответ: $6$.

2) $100(0.2x + 1)(0.04x^2 - 0.2x + 1) = 5x(0.16x^2 - 4)$
Рассмотрим левую часть уравнения. Выражение $(0.2x + 1)(0.04x^2 - 0.2x + 1)$ является формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
В нашем случае $a = 0.2x$ и $b = 1$.
Следовательно, $(0.2x + 1)(0.04x^2 - 0.2x + 1) = (0.2x)^3 + 1^3 = 0.008x^3 + 1$.
Тогда вся левая часть уравнения равна:
$100(0.008x^3 + 1) = 0.8x^3 + 100$.
Теперь упростим правую часть, раскрыв скобки:
$5x(0.16x^2 - 4) = 5x \cdot 0.16x^2 - 5x \cdot 4 = 0.8x^3 - 20x$.
Подставим упрощенные выражения в уравнение:
$0.8x^3 + 100 = 0.8x^3 - 20x$
Вычтем $0.8x^3$ из обеих частей уравнения:
$100 = -20x$
Найдем $x$:
$x = \frac{100}{-20}$
$x = -5$
Ответ: $-5$.