Номер 4, страница 137 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 4, страница 137.

Условие.

4. Какое тождество называют формулой разности кубов?

Решение 1.

Решение 5.

Формулой разности кубов называют тождество, которое выражает разность кубов двух чисел или выражений через произведение их разности на неполный квадрат их суммы. Это одна из фундаментальных формул сокращенного умножения, широко применяемая в алгебре для разложения многочленов на множители и упрощения выражений.

Записывается это тождество следующим образом:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Разбор формулы:

Левая часть, $a^3 - b^3$, представляет собой разность кубов двух выражений, $a$ и $b$.

Правая часть состоит из двух множителей:

1. Первый множитель, $(a - b)$, — это разность самих выражений $a$ и $b$.

2. Второй множитель, $(a^2 + ab + b^2)$, называется неполным квадратом суммы. Он отличается от полного квадрата суммы, $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, тем, что средний член $ab$ не удваивается.

Доказательство тождества:

Для доказательства верности формулы нужно раскрыть скобки в правой части и показать, что результат равен левой части.

Рассмотрим правую часть: $(a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Выполним умножение многочленов, умножая каждый член первого многочлена на второй многочлен:

$a \cdot (a^2 + ab + b^2) - b \cdot (a^2 + ab + b^2) = (a^3 + a^2b + ab^2) - (a^2b + ab^2 + b^3)$

Раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные:

$a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$

Теперь приведем подобные слагаемые. Члены $a^2b$ и $-a^2b$ взаимно уничтожаются, так же как и $ab^2$ и $-ab^2$:

$a^3 + (a^2b - a^2b) + (ab^2 - ab^2) - b^3 = a^3 - b^3$

В результате мы получили выражение, идентичное левой части формулы, что и доказывает тождество.

Ответ: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$