Номер 6, страница 137 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 6, страница 137.

Условие.

6. Сформулируйте правило разложения на множители разности кубов двух выражений.

Решение 1.

Решение 5.

Правило разложения на множители разности кубов двух выражений формулируется следующим образом: разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

В виде формулы это правило для двух выражений $a$ и $b$ записывается так:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Рассмотрим составные части этой формулы:

Первый множитель, $(a - b)$, представляет собой разность исходных выражений.

Второй множитель, $(a^2 + ab + b^2)$, называется неполным квадратом суммы выражений $a$ и $b$. Он отличается от полного квадрата суммы, который выглядит как $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, отсутствием двойки в среднем члене.

Для проверки справедливости этой формулы можно выполнить умножение многочленов в правой части равенства:

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a \cdot (a^2 + ab + b^2) - b \cdot (a^2 + ab + b^2) = a^3 + a^2b + ab^2 - ba^2 - b^2a - b^3$

Приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (a^2b - a^2b) + (ab^2 - ab^2) - b^3 = a^3 - b^3$

Так как правая часть тождественно равна левой, формула верна.

Ответ: Разность кубов двух выражений равна произведению их разности на неполный квадрат их суммы. Формула: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.