Номер 808, страница 138 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 808, страница 138.

Условие.

808. Какое из данных равенств является тождеством:

1) $m^3 + 8n^6 = (m + 2n^2)(m^2 + 2mn^2 + 4n^4);$

2) $m^3 + 8n^6 = (m - 2n^2)(m^2 + 2mn^2 + 4n^4);$

3) $m^3 + 8n^6 = (m + 2n^2)(m^2 - 2mn^2 + 4n^4);$

4) $m^3 + 8n^6 = (m - 2n^2)(m^2 - 2mn^2 + 4n^4)?$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы определить, какое из данных равенств является тождеством, необходимо разложить на множители левую часть выражения $m^3 + 8n^6$. Данное выражение представляет собой сумму кубов.

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Представим каждый член выражения $m^3 + 8n^6$ в виде куба, чтобы определить значения $a$ и $b$ для формулы.

Первый член: $a^3 = m^3$, из чего следует, что $a = m$.

Второй член: $b^3 = 8n^6$. Так как $8 = 2^3$ и $n^6 = (n^2)^3$, то $8n^6 = (2n^2)^3$. Следовательно, $b = 2n^2$.

Теперь подставим $a = m$ и $b = 2n^2$ в формулу суммы кубов:

$m^3 + (2n^2)^3 = (m + 2n^2)(m^2 - m \cdot (2n^2) + (2n^2)^2)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(m + 2n^2)(m^2 - 2mn^2 + 4n^4)$

Теперь мы можем сравнить полученное разложение с каждым из предложенных вариантов.

1) $m^3 + 8n^6 = (m + 2n^2)(m^2 + 2mn^2 + 4n^4)$;

Это равенство неверное. Согласно формуле суммы кубов, средний член во второй скобке (неполный квадрат разности) должен быть со знаком минус ($-ab$), а в данном варианте он со знаком плюс. Правая часть этого равенства равна $m^3 + 4m^2n^2 + 8mn^4 + 8n^6$.

2) $m^3 + 8n^6 = (m - 2n^2)(m^2 + 2mn^2 + 4n^4)$;

Это равенство неверное. Правая часть соответствует формуле разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$. При подстановке наших $a$ и $b$ она раскладывается в $m^3 - (2n^2)^3 = m^3 - 8n^6$, что не совпадает с левой частью.

3) $m^3 + 8n^6 = (m + 2n^2)(m^2 - 2mn^2 + 4n^4)$;

Это равенство верное. Оно в точности соответствует результату разложения $m^3 + 8n^6$ по формуле суммы кубов, который мы получили: $(m + 2n^2)(m^2 - 2mn^2 + 4n^4)$.

4) $m^3 + 8n^6 = (m - 2n^2)(m^2 - 2mn^2 + 4n^4)?$

Это равенство неверное. Знаки в обеих скобках не соответствуют ни формуле суммы кубов, ни формуле разности кубов. При раскрытии скобок получится выражение $m^3 - 4m^2n^2 + 8mn^4 - 8n^6$.

Ответ: 3