Номер 806, страница 138 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 806, страница 138.

Условие.

806. Разложите на множители:

1) $a^3 + 8;$

2) $c^3 - 64;$

3) $125 - b^3;$

4) $1 + x^3;$

5) $a^3 + 1000;$

6) $27a^3 - 1;$

7) $1000c^3 - 216;$

8) $a^3b^3 - 1;$

9) $m^3n^3 + 0.001;$

10) $\frac{64}{343}m^3 - \frac{125}{216}n^3.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения всех заданий будем использовать формулы сокращенного умножения для суммы и разности кубов:

• Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
• Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

1) $a^3 + 8$

Представим выражение в виде суммы кубов. $8 = 2^3$.

Применим формулу суммы кубов, где в качестве $a$ выступает $a$, а в качестве $b$ выступает $2$.

$a^3 + 8 = a^3 + 2^3 = (a + 2)(a^2 - a \cdot 2 + 2^2) = (a + 2)(a^2 - 2a + 4)$.

Ответ: $(a + 2)(a^2 - 2a + 4)$.

2) $c^3 - 64$

Представим выражение в виде разности кубов. $64 = 4^3$.

Применим формулу разности кубов, где $a = c$, $b = 4$.

$c^3 - 64 = c^3 - 4^3 = (c - 4)(c^2 + c \cdot 4 + 4^2) = (c - 4)(c^2 + 4c + 16)$.

Ответ: $(c - 4)(c^2 + 4c + 16)$.

3) $125 - b^3$

Представим выражение в виде разности кубов. $125 = 5^3$.

Применим формулу разности кубов, где $a = 5$, $b = b$.

$125 - b^3 = 5^3 - b^3 = (5 - b)(5^2 + 5 \cdot b + b^2) = (5 - b)(25 + 5b + b^2)$.

Ответ: $(5 - b)(25 + 5b + b^2)$.

4) $1 + x^3$

Представим выражение в виде суммы кубов. $1 = 1^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $a = 1$, $b = x$.

$1 + x^3 = 1^3 + x^3 = (1 + x)(1^2 - 1 \cdot x + x^2) = (1 + x)(1 - x + x^2)$.

Ответ: $(1 + x)(1 - x + x^2)$.

5) $a^3 + 1000$

Представим выражение в виде суммы кубов. $1000 = 10^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $a = a$, $b = 10$.

$a^3 + 1000 = a^3 + 10^3 = (a + 10)(a^2 - a \cdot 10 + 10^2) = (a + 10)(a^2 - 10a + 100)$.

Ответ: $(a + 10)(a^2 - 10a + 100)$.

6) $27a^3 - 1$

Представим выражение в виде разности кубов. $27a^3 = (3a)^3$ и $1 = 1^3$.

Применим формулу разности кубов, где $a$ из формулы равно $3a$, а $b$ из формулы равно $1$.

$27a^3 - 1 = (3a)^3 - 1^3 = (3a - 1)((3a)^2 + 3a \cdot 1 + 1^2) = (3a - 1)(9a^2 + 3a + 1)$.

Ответ: $(3a - 1)(9a^2 + 3a + 1)$.

7) $1000c^3 - 216$

Представим выражение в виде разности кубов. $1000c^3 = (10c)^3$ и $216 = 6^3$.

Применим формулу разности кубов, где $a = 10c$, $b = 6$.

$1000c^3 - 216 = (10c)^3 - 6^3 = (10c - 6)((10c)^2 + 10c \cdot 6 + 6^2) = (10c - 6)(100c^2 + 60c + 36)$.

Вынесем общие множители из каждой скобки: $2$ из первой и $4$ из второй.

$2(5c - 3) \cdot 4(25c^2 + 15c + 9) = 8(5c - 3)(25c^2 + 15c + 9)$.

Ответ: $8(5c - 3)(25c^2 + 15c + 9)$.

8) $a^3b^3 - 1$

Представим выражение в виде разности кубов. $a^3b^3 = (ab)^3$ и $1 = 1^3$.

Применим формулу разности кубов, где $a = ab$, $b = 1$.

$a^3b^3 - 1 = (ab)^3 - 1^3 = (ab - 1)((ab)^2 + ab \cdot 1 + 1^2) = (ab - 1)(a^2b^2 + ab + 1)$.

Ответ: $(ab - 1)(a^2b^2 + ab + 1)$.

9) $m^3n^3 + 0,001$

Представим выражение в виде суммы кубов. $m^3n^3 = (mn)^3$ и $0,001 = (0,1)^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $a = mn$, $b = 0,1$.

$m^3n^3 + 0,001 = (mn)^3 + (0,1)^3 = (mn + 0,1)((mn)^2 - mn \cdot 0,1 + (0,1)^2) = (mn + 0,1)(m^2n^2 - 0,1mn + 0,01)$.

Ответ: $(mn + 0,1)(m^2n^2 - 0,1mn + 0,01)$.

10) $\frac{64}{343}m^3 - \frac{125}{216}n^3$

Представим выражение в виде разности кубов.

$\frac{64}{343}m^3 = (\frac{4}{7}m)^3$, так как $4^3 = 64$ и $7^3 = 343$.

$\frac{125}{216}n^3 = (\frac{5}{6}n)^3$, так как $5^3 = 125$ и $6^3 = 216$.

Применим формулу разности кубов, где $a = \frac{4}{7}m$, $b = \frac{5}{6}n$.

$(\frac{4}{7}m)^3 - (\frac{5}{6}n)^3 = (\frac{4}{7}m - \frac{5}{6}n)((\frac{4}{7}m)^2 + (\frac{4}{7}m)(\frac{5}{6}n) + (\frac{5}{6}n)^2)$

$= (\frac{4}{7}m - \frac{5}{6}n)(\frac{16}{49}m^2 + \frac{20}{42}mn + \frac{25}{36}n^2)$

Упростим дробь $\frac{20}{42}$ до $\frac{10}{21}$.

$= (\frac{4}{7}m - \frac{5}{6}n)(\frac{16}{49}m^2 + \frac{10}{21}mn + \frac{25}{36}n^2)$.

Ответ: $(\frac{4}{7}m - \frac{5}{6}n)(\frac{16}{49}m^2 + \frac{10}{21}mn + \frac{25}{36}n^2)$.