Номер 805, страница 138 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 805, страница 138.

Условие.

805. Какому из данных выражений тождественно равен многочлен

$a^3 - 27:$

1) $(a-3)(a^2+6a+9);$

2) $(a-3)(a^2-9);$

3) $(a-3)(a^2-3a+9);$

4) $(a-3)(a^2+3a+9)?$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы найти, какому из предложенных выражений тождественно равен многочлен $a^3 - 27$, необходимо разложить данный многочлен на множители. Мы видим, что это разность кубов.

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов:

$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$

В нашем случае многочлен $a^3 - 27$ можно представить в виде $a^3 - 3^3$.

Здесь $x = a$ и $y = 3$.

Подставим эти значения в формулу разности кубов:

$a^3 - 3^3 = (a - 3)(a^2 + a \cdot 3 + 3^2)$

Упростим выражение в правой части равенства:

$(a - 3)(a^2 + 3a + 9)$

Теперь сравним полученное выражение с вариантами ответа:

1) $(a - 3)(a^2 + 6a + 9)$

2) $(a - 3)(a^2 - 9)$

3) $(a - 3)(a^2 - 3a + 9)$

4) $(a - 3)(a^2 + 3a + 9)$

Как мы видим, результат нашего разложения на множители совпадает с выражением, представленным в пункте 4.

Для проверки можно раскрыть скобки в выражении из пункта 4:

$(a - 3)(a^2 + 3a + 9) = a \cdot a^2 + a \cdot 3a + a \cdot 9 - 3 \cdot a^2 - 3 \cdot 3a - 3 \cdot 9 = a^3 + 3a^2 + 9a - 3a^2 - 9a - 27 = a^3 - 27$.

Преобразование подтверждает, что выражение 4 тождественно равно исходному многочлену.

Ответ: 4) $(a - 3)(a^2 + 3a + 9)$