Номер 813, страница 138 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 813, страница 138.

Условие.

813. Представьте в виде многочлена выражение:

1) $(x-2)(x^2+2x+4);$

2) $(2a-1)(4a^2+2a+1);$

3) $(a^2+1)(a^4-a^2+1);$

4) $(0,5xy+2)(0,25x^2y^2-xy+4).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы представить выражение $(x-2)(x^2+2x+4)$ в виде многочлена, воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.
В данном случае $a = x$ и $b = 2$. Проверим, соответствует ли вторая скобка формуле: $a^2+ab+b^2 = x^2 + x \cdot 2 + 2^2 = x^2+2x+4$. Выражение полностью соответствует формуле.
Следовательно, $(x-2)(x^2+2x+4) = x^3 - 2^3 = x^3 - 8$.
Ответ: $x^3 - 8$.

2) Для выражения $(2a-1)(4a^2+2a+1)$ также применим формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Здесь $a = 2a$ и $b = 1$. Проверим вторую скобку: $a^2+ab+b^2 = (2a)^2 + (2a) \cdot 1 + 1^2 = 4a^2+2a+1$. Выражение соответствует формуле.
Таким образом, $(2a-1)(4a^2+2a+1) = (2a)^3 - 1^3 = 8a^3 - 1$.
Ответ: $8a^3 - 1$.

3) В выражении $(a^2+1)(a^4-a^2+1)$ используется формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.
В этом случае $a = a^2$ и $b = 1$. Проверим соответствие второй скобки: $a^2-ab+b^2 = (a^2)^2 - a^2 \cdot 1 + 1^2 = a^4-a^2+1$. Выражение полностью соответствует формуле.
Следовательно, $(a^2+1)(a^4-a^2+1) = (a^2)^3 + 1^3 = a^6 + 1$.
Ответ: $a^6 + 1$.

4) Для выражения $(0,5xy+2)(0,25x^2y^2-xy+4)$ применим формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Здесь $a = 0,5xy$ и $b = 2$. Проверим вторую скобку: $a^2-ab+b^2 = (0,5xy)^2 - (0,5xy) \cdot 2 + 2^2 = 0,25x^2y^2 - xy + 4$. Выражение соответствует формуле.
Таким образом, $(0,5xy+2)(0,25x^2y^2-xy+4) = (0,5xy)^3 + 2^3 = 0,125x^3y^3 + 8$.
Ответ: $0,125x^3y^3 + 8$.