Номер 1, страница 137 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 1, страница 137.

Условие.

1. Какое тождество называют формулой суммы кубов?

Решение 1.

Решение 5.

1. Формулой суммы кубов называют тождество, которое используется для разложения на множители выражения, представляющего собой сумму кубов двух чисел или выражений. Эта формула является одной из формул сокращенного умножения.

Тождество имеет следующий вид:
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Словесная формулировка данного тождества: сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.
Выражение $a^2 - ab + b^2$ называют неполным квадратом разности, так как полный квадрат разности выглядел бы как $a^2 - 2ab + b^2$.

Доказательство:
Для доказательства справедливости этой формулы достаточно раскрыть скобки в правой части выражения и убедиться, что она равна левой части.
$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a \cdot a^2 + a \cdot (-ab) + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 + b \cdot (-ab) + b \cdot b^2 = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3$
Теперь приведем подобные слагаемые:
$a^3 + (-a^2b + a^2b) + (ab^2 - ab^2) + b^3 = a^3 + 0 + 0 + b^3 = a^3 + b^3$
Мы получили выражение, которое в точности совпадает с левой частью исходного тождества:
$a^3 + b^3 = a^3 + b^3$
Тождество доказано.

Ответ: Формулой суммы кубов называют тождество $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.