Номер 678, страница 118 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Разность квадратов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 678, страница 118.

Условие.

678. Остаток от деления на 7 одного натурального числа равен 4, а другого числа равен 3. Докажите, что разность квадратов этих чисел кратна 7.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть первое натуральное число будет a, а второе — b.

Согласно условию задачи, остаток от деления числа a на 7 равен 4. Это означает, что число a можно представить в виде: $a = 7k + 4$, где k — некоторое целое неотрицательное число (неполное частное).

Аналогично, остаток от деления числа b на 7 равен 3. Это можно записать как: $b = 7m + 3$, где m — некоторое целое неотрицательное число.

Требуется доказать, что разность квадратов этих чисел, то есть выражение $a^2 - b^2$, кратна 7 (делится на 7 без остатка).

Для доказательства воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Теперь найдем значения для каждого из множителей $(a - b)$ и $(a + b)$, подставив в них выражения для a и b.

1. Найдем сумму чисел $a + b$: $a + b = (7k + 4) + (7m + 3) = 7k + 7m + 4 + 3 = 7k + 7m + 7$. Вынесем общий множитель 7 за скобки: $a + b = 7(k + m + 1)$. Поскольку k и m являются целыми числами, их сумма $k + m + 1$ также является целым числом. Следовательно, выражение $a+b$ представляет собой произведение числа 7 на целое число, а это означает, что сумма $a+b$ кратна 7.

2. Найдем разность чисел $a - b$: $a - b = (7k + 4) - (7m + 3) = 7k - 7m + 4 - 3 = 7(k - m) + 1$.

Теперь подставим полученные выражения для суммы и разности обратно в формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) = (7(k + m + 1)) \cdot (7(k - m) + 1)$.

В полученном произведении один из множителей, а именно $(a+b) = 7(k + m + 1)$, делится нацело на 7. Согласно свойству делимости, если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и все произведение делится на это число.

Таким образом, мы доказали, что разность квадратов $a^2 - b^2$ всегда будет кратна 7.

Ответ: Утверждение доказано. Разность квадратов $a^2-b^2$ представляется в виде произведения $(a+b)(a-b)$. Сумма чисел $a+b = (7k+4)+(7m+3)=7(k+m+1)$ всегда кратна 7. Так как один из множителей произведения кратен 7, то и все произведение кратно 7.