Номер 675, страница 118 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Разность квадратов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 675, страница 118.

Условие.

675. Докажите, что:

1) разность квадратов двух последовательных натуральных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел;

2) разность квадратов двух последовательных натуральных нечётных чисел делится нацело на 8.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Пусть даны два последовательных натуральных чётных числа. Любое чётное число можно представить в виде $2n$, где $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$). Тогда два последовательных чётных числа будут $2n$ и $2n+2$.

Найдём разность их квадратов. По правилу, мы вычитаем квадрат меньшего числа из квадрата большего:

$(2n+2)^2 - (2n)^2$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(2n+2)^2 - (2n)^2 = ((2n+2) - 2n)((2n+2) + 2n) = (2)(4n+4) = 8n+8$

Теперь найдём сумму этих чисел:

$2n + (2n+2) = 4n+4$

Найдём удвоенную сумму этих чисел:

$2 \cdot (4n+4) = 8n+8$

Сравнивая полученные выражения, мы видим, что разность квадратов ($8n+8$) равна удвоенной сумме ($8n+8$). Утверждение доказано.

Ответ: утверждение доказано.

2)

Пусть даны два последовательных натуральных нечётных числа. Любое нечётное число можно представить в виде $2k+1$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k \in \{0, 1, 2, ...\}$). Тогда два последовательных нечётных числа будут $2k+1$ и $2k+3$.

Найдём разность их квадратов:

$(2k+3)^2 - (2k+1)^2$

Снова применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(2k+3)^2 - (2k+1)^2 = ((2k+3) - (2k+1))((2k+3) + (2k+1))$

Упростим выражение в каждой скобке:

$(2k+3-2k-1)(2k+3+2k+1) = (2)(4k+4)$

Вынесем общий множитель 4 из второй скобки:

$2 \cdot 4(k+1) = 8(k+1)$

Полученное выражение $8(k+1)$ содержит множитель 8. Так как $k$ — целое неотрицательное число, то $k+1$ также является натуральным числом. Следовательно, выражение $8(k+1)$ всегда делится нацело на 8. Утверждение доказано.

Ответ: утверждение доказано.