Номер 664, страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Разность квадратов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 664, страница 117.

Условие.

664. Разложите на множители, пользуясь формулой разности квадратов:

1) $(x+2)^2 - 49;$

2) $(x-10)^2 - 25y^2;$

3) $25 - (y-3)^2;$

4) $(a-4)^2 - (a+2)^2;$

5) $(m-10)^2 - (n-6)^2;$

6) $(8y+4)^2 - (4y-3)^2;$

7) $(5a+3b)^2 - (2a-4b)^2;$

8) $4(a-b)^2 - (a+b)^2;$

9) $(x^2+x+1)^2 - (x^2-x+2)^2;$

10) $(-3x^3+y)^2 - 16x^6.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для разложения выражения $(x+2)^2 - 49$ на множители используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
В данном случае $a = x+2$ и $b^2 = 49$, следовательно $b = 7$.
Подставляем в формулу:
$(x+2)^2 - 7^2 = ((x+2) - 7)((x+2) + 7)$.
Упрощаем выражения в скобках:
$(x+2-7)(x+2+7) = (x-5)(x+9)$.

Ответ: $(x-5)(x+9)$.

2) Для выражения $(x-10)^2 - 25y^2$ применяем ту же формулу.
Здесь $a = x-10$ и $b^2 = 25y^2$, значит $b = 5y$.
Получаем:
$(x-10)^2 - (5y)^2 = ((x-10) - 5y)((x-10) + 5y) = (x-10-5y)(x-10+5y)$.

Ответ: $(x-5y-10)(x+5y-10)$.

3) В выражении $25 - (y-3)^2$ имеем $a^2 = 25$, то есть $a=5$, и $b = y-3$.
Применяем формулу разности квадратов:
$5^2 - (y-3)^2 = (5 - (y-3))(5 + (y-3))$.
Упрощаем:
$(5 - y + 3)(5 + y - 3) = (8-y)(y+2)$.

Ответ: $(8-y)(y+2)$.

4) Для выражения $(a-4)^2 - (a+2)^2$ используем $a_1 = a-4$ и $b_1 = a+2$.
Применяем формулу:
$((a-4) - (a+2))((a-4) + (a+2))$.
Упрощаем каждую скобку:
Первая скобка: $(a-4-a-2) = -6$.
Вторая скобка: $(a-4+a+2) = 2a-2$.
Получаем произведение: $-6(2a-2)$.
Выносим общий множитель 2 из второй скобки: $-6 \cdot 2(a-1) = -12(a-1)$.

Ответ: $-12(a-1)$.

5) В выражении $(m-10)^2 - (n-6)^2$ положим $a = m-10$ и $b = n-6$.
По формуле разности квадратов:
$((m-10) - (n-6))((m-10) + (n-6))$.
Раскрываем внутренние скобки и упрощаем:
$(m-10-n+6)(m-10+n-6) = (m-n-4)(m+n-16)$.

Ответ: $(m-n-4)(m+n-16)$.

6) Для выражения $(8y+4)^2 - (4y-3)^2$ имеем $a = 8y+4$ и $b = 4y-3$.
Применяем формулу:
$((8y+4) - (4y-3))((8y+4) + (4y-3))$.
Упрощаем выражения в скобках:
$(8y+4-4y+3)(8y+4+4y-3) = (4y+7)(12y+1)$.

Ответ: $(4y+7)(12y+1)$.

7) В выражении $(5a+3b)^2 - (2a-4b)^2$ принимаем $a_1 = 5a+3b$ и $b_1 = 2a-4b$.
Раскладываем по формуле:
$((5a+3b) - (2a-4b))((5a+3b) + (2a-4b))$.
Упрощаем:
$(5a+3b-2a+4b)(5a+3b+2a-4b) = (3a+7b)(7a-b)$.

Ответ: $(3a+7b)(7a-b)$.

8) Преобразуем выражение $4(a-b)^2 - (a+b)^2$.
Заметим, что $4(a-b)^2 = (2(a-b))^2 = (2a-2b)^2$.
Теперь выражение имеет вид $(2a-2b)^2 - (a+b)^2$.
Применяем формулу разности квадратов, где $a_1 = 2a-2b$ и $b_1 = a+b$:
$((2a-2b) - (a+b))((2a-2b) + (a+b))$.
Упрощаем:
$(2a-2b-a-b)(2a-2b+a+b) = (a-3b)(3a-b)$.

Ответ: $(a-3b)(3a-b)$.

9) Для выражения $(x^2+x+1)^2 - (x^2-x+2)^2$ положим $a = x^2+x+1$ и $b = x^2-x+2$.
Применяем формулу:
$((x^2+x+1) - (x^2-x+2))((x^2+x+1) + (x^2-x+2))$.
Упрощаем каждую скобку:
Первая скобка: $(x^2+x+1 - x^2+x-2) = 2x-1$.
Вторая скобка: $(x^2+x+1 + x^2-x+2) = 2x^2+3$.
Результат: $(2x-1)(2x^2+3)$.

Ответ: $(2x-1)(2x^2+3)$.

10) Рассмотрим выражение $(-3x^3+y)^2 - 16x^6$.
Перепишем его в удобном виде. Заметим, что $(-3x^3+y)^2 = (y-3x^3)^2$ и $16x^6 = (4x^3)^2$.
Получаем $(y-3x^3)^2 - (4x^3)^2$.
Это разность квадратов, где $a = y-3x^3$ и $b = 4x^3$.
Применяем формулу:
$((y-3x^3) - 4x^3)((y-3x^3) + 4x^3)$.
Упрощаем:
$(y-3x^3-4x^3)(y-3x^3+4x^3) = (y-7x^3)(y+x^3)$.

Ответ: $(y-7x^3)(y+x^3)$.