Страница 105 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Представьте в виде многочлена выражение $3y^2(y^3 + 1)$.

А) $3y^6 + 1$

Б) $3y^6 + 3y^2$

В) $3y^5 + 1$

Г) $3y^5 + 3y^2$

1. Чтобы представить выражение $3y^2(y^3 + 1)$ в виде многочлена, необходимо применить распределительный закон умножения. Для этого нужно умножить одночлен $3y^2$ на каждый член двучлена, стоящего в скобках, то есть на $y^3$ и на $1$.

Выполним умножение по шагам:

1. Умножим $3y^2$ на $y^3$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$3y^2 \cdot y^3 = 3y^{2+3} = 3y^5$.

2. Умножим $3y^2$ на $1$.
$3y^2 \cdot 1 = 3y^2$.

3. Сложим полученные результаты:
$3y^5 + 3y^2$.

В результате преобразования мы получили многочлен $3y^5 + 3y^2$. Сравнив его с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту Г).
Ответ: Г) $3y^5 + 3y^2$

2. Упростите выражение $-9y(y-3) + 4.5y(2y-4)$.

А) $45y$

Б) $-45y$

В) $-9y$

Г) $9y$

Для того чтобы упростить выражение $-9y(y - 3) + 4,5y(2y - 4)$, необходимо раскрыть скобки и затем привести подобные слагаемые.

1. Раскрытие скобок

Применим распределительный закон умножения $a(b + c) = ab + ac$ к каждой части выражения.

Для первого члена: $-9y(y - 3) = (-9y) \cdot y + (-9y) \cdot (-3) = -9y^2 + 27y$.

Для второго члена: $4,5y(2y - 4) = (4,5y) \cdot (2y) + (4,5y) \cdot (-4) = 9y^2 - 18y$.

2. Приведение подобных слагаемых

Теперь сложим полученные выражения:

$(-9y^2 + 27y) + (9y^2 - 18y)$

Сгруппируем подобные члены (члены с $y^2$ и члены с $y$):

$(-9y^2 + 9y^2) + (27y - 18y)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$-9y^2 + 9y^2 = 0$

$27y - 18y = 9y$

Результат сложения: $0 + 9y = 9y$.

Следовательно, исходное выражение равно $9y$. Это соответствует варианту ответа Г).

Ответ: Г) $9y$

3. Какому многочлену равно выражение $(x - 3)(x + 7)$?

А) $x^2 + 4x - 21$

Б) $x^2 - 4x - 21$

В) $x^2 + 10x - 21$

Г) $x^2 - 10x - 21$

Чтобы найти многочлен, которому равно выражение $(x - 3)(x + 7)$, необходимо перемножить два двучлена. Для этого нужно умножить каждый член первого двучлена на каждый член второго.

Выполним умножение пошагово:

$(x - 3)(x + 7) = x \cdot x + x \cdot 7 - 3 \cdot x - 3 \cdot 7$

Вычислим полученные произведения:

$x^2 + 7x - 3x - 21$

Теперь приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $x$):

$x^2 + (7x - 3x) - 21$

Выполним вычитание в скобках:

$x^2 + 4x - 21$

Таким образом, исходное выражение равно многочлену $x^2 + 4x - 21$. Этот результат соответствует варианту ответа А.

Ответ: $x^2 + 4x - 21$

4. Упростите выражение $(3x + 2)(2x - 1) - (5x - 2)(x - 4).$

А) $x^2 - 23x - 10$

В) $x^2 - 21x + 6$

Б) $x^2 + 23x - 10$

Г) $x^2 + 21x + 6$

Чтобы упростить выражение $(3x+2)(2x-1) - (5x-2)(x-4)$, необходимо раскрыть скобки в каждом произведении, а затем привести подобные слагаемые.

1. Раскроем скобки в первом произведении $(3x+2)(2x-1)$. Для этого умножим каждый член первой скобки на каждый член второй:
$(3x+2)(2x-1) = 3x \cdot 2x + 3x \cdot (-1) + 2 \cdot 2x + 2 \cdot (-1) = 6x^2 - 3x + 4x - 2$.
Приведем подобные слагаемые в полученном выражении:
$6x^2 + (-3x + 4x) - 2 = 6x^2 + x - 2$.

2. Теперь раскроем скобки во втором произведении $(5x-2)(x-4)$:
$(5x-2)(x-4) = 5x \cdot x + 5x \cdot (-4) - 2 \cdot x - 2 \cdot (-4) = 5x^2 - 20x - 2x + 8$.
Приведем подобные слагаемые:
$5x^2 + (-20x - 2x) + 8 = 5x^2 - 22x + 8$.

3. Подставим полученные многочлены обратно в исходное выражение и выполним вычитание:
$(6x^2 + x - 2) - (5x^2 - 22x + 8)$.
Так как перед второй скобкой стоит знак «минус», при ее раскрытии все знаки внутри изменятся на противоположные:
$6x^2 + x - 2 - 5x^2 + 22x - 8$.

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(6x^2 - 5x^2) + (x + 22x) + (-2 - 8)$.
Выполним действия в каждой группе:
$x^2 + 23x - 10$.

Результат $x^2 + 23x - 10$ совпадает с вариантом ответа Б).

Ответ: $x^2 + 23x - 10$

5. Вынесите общий множитель за скобки: $3mn - 4mk$.

А) $n(3m - 4k)$

Б) $m(3n - 4k)$

В) $n(4m - 3k)$

Г) $m(4n - 3k)$

Чтобы вынести общий множитель за скобки в выражении $3mn - 4mk$, необходимо найти наибольший общий делитель для каждого члена этого выражения и представить выражение в виде произведения этого множителя на сумму/разность оставшихся частей в скобках.

Выражение состоит из двух членов: $3mn$ и $-4mk$.

1. Найдём общий множитель.
Рассмотрим множители каждого члена:
- Множители первого члена $3mn$: $3$, $m$, $n$.
- Множители второго члена $-4mk$: $-4$, $m$, $k$.
Сравнивая наборы множителей, мы видим, что единственным общим множителем является переменная $m$. Числовые коэффициенты $3$ и $4$ являются взаимно простыми, поэтому их общий делитель равен 1.

2. Вынесем общий множитель за скобки.
Выносим $m$ за скобки. Для этого необходимо каждый член исходного выражения разделить на $m$:
$3mn - 4mk = m \cdot (\frac{3mn}{m} - \frac{4mk}{m})$
Выполнив деление в скобках, получаем:
$m \cdot (3n - 4k)$

Таким образом, итоговое выражение имеет вид $m(3n - 4k)$. Сравнив его с предложенными вариантами, видим, что оно соответствует варианту Б.

Ответ: Б) $m(3n - 4k)$

6. Разложите на множители выражение $m^2n + mn^2$.

А) $m(m+n)$

Б) $n(m+n)$

В) $mn(m+n)$

Г) $m^2n^2(m+n)$

Чтобы разложить на множители выражение $m^2n + mn^2$, необходимо найти наибольший общий множитель для обоих слагаемых и вынести его за скобки.

Исходное выражение состоит из двух слагаемых: $m^2n$ и $mn^2$.

Найдём наибольший общий делитель (НОД) этих слагаемых. Для этого определим наименьшую степень каждой переменной, входящей в оба слагаемых.

Переменная $m$ входит в первое слагаемое в степени 2 ($m^2$) и во второе в степени 1 ($m^1$). Наименьшая степень равна 1, поэтому общим множителем будет $m$.

Переменная $n$ входит в первое слагаемое в степени 1 ($n^1$) и во второе в степени 2 ($n^2$). Наименьшая степень равна 1, поэтому общим множителем будет $n$.

Следовательно, наибольший общий множитель, который можно вынести за скобки, это произведение $m$ и $n$, то есть $mn$.

Теперь вынесем $mn$ за скобки. Для этого каждый член исходного выражения разделим на $mn$:

$m^2n + mn^2 = mn(\frac{m^2n}{mn} + \frac{mn^2}{mn})$

Упростим выражение в скобках, выполнив деление:

$\frac{m^2n}{mn} = m^{2-1}n^{1-1} = m^1n^0 = m$

$\frac{mn^2}{mn} = m^{1-1}n^{2-1} = m^0n^1 = n$

Подставив упрощенные члены обратно, получим итоговое выражение в разложенном виде:

$mn(m + n)$

Этот результат соответствует варианту ответа В.

Ответ: В) $mn(m + n)$

7. Разложите выражение $mn - mn^2$ на множители.

А) $mn(1 - n)$

Б) $mn(1 + n)$

В) $m(1 - n)(1 - n)$

Г) $n(1 - m)(1 - m)$

Чтобы разложить на множители выражение $mn - mn^2$, нужно найти общий множитель у его членов и вынести его за скобки.

Выражение состоит из двух членов: $mn$ и $-mn^2$.

Определим наибольший общий делитель (НОД) для этих членов. Оба члена содержат переменные $m$ и $n$.

• Первый член: $mn$.
• Второй член: $mn^2$, что можно записать как $m \cdot n \cdot n$.

Видно, что общим множителем является $mn$.

Теперь вынесем общий множитель $mn$ за скобки. Для этого каждый член исходного выражения разделим на $mn$:

$mn - mn^2 = mn \cdot (\frac{mn}{mn} - \frac{mn^2}{mn})$

Выполним деление в скобках:

$\frac{mn}{mn} = 1$

$\frac{mn^2}{mn} = n$

Подставив результаты обратно в выражение, получаем:

$mn(1 - n)$

Сравним полученный результат с предложенными вариантами. Наш результат $mn(1 - n)$ совпадает с вариантом А).

Ответ: А) $mn(1-n)$

8. Представьте многочлен $2x^2 - 4x^6$ в виде произведения одночлена и многочлена.

А) $2x^2(1 - 2x^3)$

Б) $2x^2(1 - 2x^4)$

В) $2x^2(2 - x^3)$

Г) $2x^2(2 - x^4)$

Чтобы представить многочлен $2x^2 - 4x^6$ в виде произведения одночлена и многочлена, необходимо вынести за скобки их наибольший общий множитель.

1. Нахождение общего множителя.

Сначала находим наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 2 и 4. НОД(2, 4) = 2.

Затем находим общую переменную часть с наименьшей степенью. Переменная $x$ входит в оба члена в степенях 2 и 6. Наименьшая степень равна 2, поэтому общая переменная часть — это $x^2$.

Перемножив НОД коэффициентов и общую переменную часть, получаем одночлен, который нужно вынести за скобки: $2x^2$.

2. Вынесение общего множителя за скобки.

Делим каждый член исходного многочлена на общий множитель $2x^2$, чтобы найти многочлен, который останется в скобках:

$2x^2 - 4x^6 = 2x^2 \cdot (\frac{2x^2}{2x^2} - \frac{4x^6}{2x^2})$

Выполняем деление в скобках, используя правило деления степеней $a^m / a^n = a^{m-n}$:

$\frac{2x^2}{2x^2} = 1$

$\frac{4x^6}{2x^2} = 2x^{6-2} = 2x^4$

Таким образом, выражение в скобках равно $1 - 2x^4$.

3. Запись итогового произведения.

Итоговое выражение имеет вид:

$2x^2(1 - 2x^4)$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он совпадает с вариантом Б.

Ответ: Б) $2x^2(1 - 2x^4)$

9. Решите уравнение $x^2 - 2x = 0$.

А) 0

Б) 0; -2

В) 0; 2

Г) 2

Чтобы решить уравнение $x^2 - 2x = 0$, необходимо найти все значения $x$, при которых равенство будет верным. Данное уравнение является неполным квадратным уравнением, так как свободный член $c$ равен нулю.

Самый простой способ решения в данном случае — это вынесение общего множителя за скобки. Общим множителем для $x^2$ и $-2x$ является $x$.

$x(x - 2) = 0$

Произведение двух множителей ($x$ и $(x - 2)$) равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из этих множителей равен нулю. Поэтому мы можем разбить одно уравнение на два более простых:

1) $x = 0$

2) $x - 2 = 0$

Первый корень у нас уже есть: $x_1 = 0$.

Решим второе уравнение, чтобы найти второй корень:
$x - 2 = 0$
$x = 2$
Таким образом, второй корень $x_2 = 2$.

В результате мы получили два корня уравнения: 0 и 2. Сравнивая с предложенными вариантами, мы видим, что правильным является вариант В.

Ответ: 0; 2

10. Представьте в виде произведения многочлен $ax - ay + 5x - 5y$.

А) $(x-y)(a+5)$

Б) $(x-y)(a-5)$

В) $(x+y)(a-5)$

Г) $(x+y)(a+5)$

Чтобы представить многочлен $ax - ay + 5x - 5y$ в виде произведения, необходимо выполнить разложение на множители. Наиболее подходящим методом в данном случае является метод группировки.

Суть метода состоит в том, чтобы объединить слагаемые в группы таким образом, чтобы в каждой группе можно было вынести за скобки общий множитель, а после этого появился бы общий множитель для всех групп.

Шаг 1: Группировка слагаемых

Сгруппируем первые два слагаемых и последние два слагаемых:

$(ax - ay) + (5x - 5y)$

Шаг 2: Вынесение общего множителя из каждой группы

В первой группе $(ax - ay)$ общим множителем является $a$. Вынесем его за скобки:

$a(x - y)$

Во второй группе $(5x - 5y)$ общим множителем является $5$. Вынесем его за скобки:

$5(x - y)$

Шаг 3: Вынесение общего множителя-скобки

После вынесения множителей из каждой группы выражение принимает вид:

$a(x - y) + 5(x - y)$

Теперь мы видим, что оба слагаемых $a(x-y)$ и $5(x-y)$ имеют общий множитель — выражение в скобках $(x - y)$. Вынесем этот общий множитель за скобки:

$(x - y)(a + 5)$

Таким образом, многочлен представлен в виде произведения двух множителей: $(x-y)$ и $(a+5)$.

Альтернативный способ группировки:

Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым:

$(ax + 5x) + (-ay - 5y)$

Вынесем из первой группы $x$, а из второй $-y$:

$x(a + 5) - y(a + 5)$

Вынесем общую скобку $(a+5)$:

$(a + 5)(x - y)$

Результат тот же, так как от перемены мест множителей произведение не меняется.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом А.

Ответ: А) $(x - y)(a + 5)$

11. Решите уравнение $ \frac{x-1}{2} - \frac{x+1}{3} = 1. $

А) 11

Б) 1

В) 7

Г) 5

Для решения данного уравнения $\frac{x-1}{2} - \frac{x+1}{3} = 1$ необходимо избавиться от дробей. Для этого найдем общий знаменатель и умножим на него обе части уравнения.

Наименьшим общим знаменателем для чисел 2 и 3 является 6. Умножим каждый член уравнения на 6:
$6 \cdot \left( \frac{x-1}{2} \right) - 6 \cdot \left( \frac{x+1}{3} \right) = 6 \cdot 1$

Сократим дроби, разделив 6 на знаменатели 2 и 3:
$3 \cdot (x-1) - 2 \cdot (x+1) = 6$

Теперь раскроем скобки. Обратите внимание, что знак минус перед второй дробью относится ко всему числителю $(x+1)$:
$3x - 3 - (2x + 2) = 6$
$3x - 3 - 2x - 2 = 6$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(3x - 2x) + (-3 - 2) = 6$
$x - 5 = 6$

Чтобы найти $x$, перенесем число -5 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:
$x = 6 + 5$
$x = 11$

Проверим правильность решения, подставив $x=11$ в исходное уравнение:
$\frac{11-1}{2} - \frac{11+1}{3} = \frac{10}{2} - \frac{12}{3} = 5 - 4 = 1$.
$1 = 1$.
Равенство выполняется, значит, решение найдено верно. Этот результат соответствует варианту ответа А.

Ответ: 11

12. Значение переменной $a$ таково, что значение выражения $a^2 - 7a + 3$ равно 2. Найдите значение выражения $2a^2 - 14a + 10$.

А) 4

Б) 12

В) 8

Г) 14

По условию задачи известно, что значение выражения $a^2 - 7a + 3$ равно 2. Мы можем записать это в виде уравнения:

$a^2 - 7a + 3 = 2$

Из этого уравнения можно выразить значение двучлена $a^2 - 7a$. Для этого вычтем 3 из обеих частей уравнения:

$a^2 - 7a = 2 - 3$

$a^2 - 7a = -1$

Теперь рассмотрим выражение, значение которого требуется найти: $2a^2 - 14a + 10$.

Мы можем преобразовать это выражение, чтобы использовать найденное нами значение. Заметим, что первые два члена выражения, $2a^2 - 14a$, пропорциональны выражению $a^2 - 7a$. Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2a^2 - 14a + 10 = 2(a^2 - 7a) + 10$

Теперь подставим значение $a^2 - 7a = -1$ в преобразованное выражение:

$2 \cdot (-1) + 10 = -2 + 10 = 8$

Таким образом, значение выражения $2a^2 - 14a + 10$ равно 8. Этот результат соответствует варианту В).

Ответ: 8