Страница 98 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

565. Докажите, что если:

1) $a + b = 2$, то $a^2b + ab^2 - 2ab = 0$;

2) $3a + 4b = -2$, то $12a^3b + 16a^2b^2 + 32a^2b = 24a^2b$.

1)

Требуется доказать, что если $a + b = 2$, то $a^2b + ab^2 - 2ab = 0$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства $a^2b + ab^2 - 2ab$. Вынесем за скобки общий множитель $ab$:

$ab(a + b - 2)$

По условию задачи дано, что $a + b = 2$. Подставим это значение в полученное выражение:

$ab(2 - 2) = ab \cdot 0 = 0$

Таким образом, мы показали, что левая часть равенства равна 0, что совпадает с правой частью. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

2)

Требуется доказать, что если $3a + 4b = -2$, то $12a^3b + 16a^2b^2 + 32a^2b = 24a^2b$.

Для удобства преобразуем исходное равенство, перенеся все его члены в левую часть:

$12a^3b + 16a^2b^2 + 32a^2b - 24a^2b = 0$

Приведём подобные слагаемые в левой части:

$12a^3b + 16a^2b^2 + 8a^2b = 0$

Теперь докажем это равенство. Вынесем за скобки общий множитель $4a^2b$ в левой части:

$4a^2b(3a + 4b + 2)$

По условию задачи известно, что $3a + 4b = -2$. Подставим это значение в выражение в скобках:

$4a^2b((-2) + 2) = 4a^2b \cdot 0 = 0$

Мы получили тождество $0 = 0$, что доказывает верность преобразованного, а значит, и исходного равенства.

Ответ: Утверждение доказано.

566. Докажите, что если:

1) $a + b + c = 0$, то $a^3b^3c^2 + a^2b^4c^2 + a^2b^3c^3 = 0$;

2) $a^2 - b^2 = 2ab + 1$, то $a^6b^4 - 2a^5b^5 - a^4b^6 = a^4b^4$.

1) Требуется доказать, что если $a + b + c = 0$, то $a^3b^3c^2 + a^2b^4c^2 + a^2b^3c^3 = 0$.

Рассмотрим левую часть равенства, которое необходимо доказать:

$a^3b^3c^2 + a^2b^4c^2 + a^2b^3c^3$

Для упрощения этого выражения вынесем за скобки общий множитель. Общим множителем для всех трех слагаемых является $a^2b^3c^2$.

$a^2b^3c^2(a + b + c)$

По условию задачи нам дано, что $a + b + c = 0$. Подставим это значение в полученное выражение:

$a^2b^3c^2 \cdot (0) = 0$

Таким образом, левая часть равенства равна нулю, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Требуется доказать, что если $a^2 - b^2 = 2ab + 1$, то $a^6b^4 - 2a^5b^5 - a^4b^6 = a^4b^4$.

Рассмотрим левую часть равенства, которое необходимо доказать:

$a^6b^4 - 2a^5b^5 - a^4b^6$

Вынесем за скобки общий множитель $a^4b^4$:

$a^4b^4(a^2 - 2ab - b^2)$

Теперь воспользуемся условием $a^2 - b^2 = 2ab + 1$. Преобразуем его, перенеся $2ab$ из правой части в левую:

$a^2 - b^2 - 2ab = 1$

Перегруппируем слагаемые в левой части, чтобы получить выражение, стоящее в скобках в нашем преобразованном равенстве:

$a^2 - 2ab - b^2 = 1$

Теперь мы можем подставить значение этого выражения (которое равно 1) в преобразованную левую часть исходного равенства:

$a^4b^4(a^2 - 2ab - b^2) = a^4b^4 \cdot 1 = a^4b^4$

В результате преобразований мы получили, что левая часть равна правой части ($a^4b^4$). Тождество доказано.

Ответ: Доказано.

567. Решите уравнение:

1) $8x^2 - 3(x - 4) = 12;$

2) $5x^3 - x(2x - 3) = 3x,$

3) $4x - 0,2x(x + 20) = x^3;$

4) $9x(x - 3) + (x - 4)(x - 5) = 20.$

1) $8x^2 - 3(x - 4) = 12$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:

$8x^2 - 3x + 12 = 12$

Перенесем число 12 из правой части в левую, изменив его знак на противоположный:

$8x^2 - 3x + 12 - 12 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$8x^2 - 3x = 0$

Получилось неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(8x - 3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем каждый множитель к нулю:

$x_1 = 0$

или

$8x - 3 = 0 \implies 8x = 3 \implies x_2 = \frac{3}{8}$

Ответ: $0; \frac{3}{8}$.

2) $5x^3 - x(2x - 3) = 3x$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$5x^3 - 2x^2 + 3x = 3x$

Перенесем $3x$ из правой части в левую с противоположным знаком:

$5x^3 - 2x^2 + 3x - 3x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$5x^3 - 2x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(5x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x^2 = 0 \implies x_1 = 0$

или

$5x - 2 = 0 \implies 5x = 2 \implies x_2 = \frac{2}{5}$

Ответ: $0; \frac{2}{5}$.

3) $4x - 0,2x(x + 20) = x^3$

Раскроем скобки в левой части:

$4x - 0,2x^2 - 0,2x \cdot 20 = x^3$

$4x - 0,2x^2 - 4x = x^3$

Упростим левую часть, приведя подобные слагаемые:

$-0,2x^2 = x^3$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$x^3 + 0,2x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x + 0,2) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$x^2 = 0 \implies x_1 = 0$

или

$x + 0,2 = 0 \implies x_2 = -0,2$

Ответ: $-0,2; 0$.

4) $9x(x - 3) + (x - 4)(x - 5) = 20$

Сначала раскроем все скобки в левой части уравнения:

$9x^2 - 27x + (x^2 - 5x - 4x + 20) = 20$

Приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$9x^2 - 27x + x^2 - 9x + 20 = 20$

Сгруппируем и сложим подобные члены в левой части:

$(9x^2 + x^2) + (-27x - 9x) + 20 = 20$

$10x^2 - 36x + 20 = 20$

Перенесем 20 из правой части в левую:

$10x^2 - 36x + 20 - 20 = 0$

$10x^2 - 36x = 0$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(5x - 18) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$2x = 0 \implies x_1 = 0$

или

$5x - 18 = 0 \implies 5x = 18 \implies x_2 = \frac{18}{5} = 3,6$

Ответ: $0; 3,6$.

568. Найдите корни уравнения:

1) $ (3x - 2)(3x + 2) - (2x - 5)(8x - 3) = 4x - 19; $

2) $ \frac{1}{3}(12 + x^3) = \frac{1}{9}x^2 + 4. $

1) $(3x-2)(3x+2) - (2x-5)(8x-3) = 4x - 19$

Для решения уравнения раскроем скобки в левой части. Первое произведение $(3x-2)(3x+2)$ является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Второе произведение $(2x-5)(8x-3)$ раскроем по правилу умножения многочленов.

$(3x)^2 - 2^2 - (2x \cdot 8x - 2x \cdot 3 - 5 \cdot 8x - 5 \cdot (-3)) = 4x - 19$

$9x^2 - 4 - (16x^2 - 6x - 40x + 15) = 4x - 19$

Приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$9x^2 - 4 - (16x^2 - 46x + 15) = 4x - 19$

Теперь раскроем скобки, изменив знаки на противоположные:

$9x^2 - 4 - 16x^2 + 46x - 15 = 4x - 19$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(9x^2 - 16x^2) + 46x + (-4 - 15) = 4x - 19$

$-7x^2 + 46x - 19 = 4x - 19$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы справа остался ноль:

$-7x^2 + 46x - 19 - 4x + 19 = 0$

Снова приведем подобные слагаемые:

$-7x^2 + (46x - 4x) + (-19 + 19) = 0$

$-7x^2 + 42x = 0$

Получилось неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $-7x$ за скобки:

$-7x(x - 6) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому:

$-7x = 0$ или $x - 6 = 0$

$x_1 = 0$ или $x_2 = 6$

Ответ: $0; 6$

2) $\frac{1}{3}(12+x^3) = \frac{1}{9}x^2 + 4$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{9}$, который равен 9.

$9 \cdot \frac{1}{3}(12+x^3) = 9 \cdot (\frac{1}{9}x^2 + 4)$

$3(12+x^3) = 9 \cdot \frac{1}{9}x^2 + 9 \cdot 4$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$36 + 3x^3 = x^2 + 36$

Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены - в правую:

$3x^3 - x^2 = 36 - 36$

$3x^3 - x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(3x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, имеем два случая:

$x^2 = 0$ или $3x - 1 = 0$

Из первого уравнения получаем $x_1 = 0$.

Из второго уравнения: $3x = 1$, откуда $x_2 = \frac{1}{3}$.

Ответ: $0; \frac{1}{3}$

569. Упростите выражение, используя вынесение общего множителя за скобки:

1) $(a-1)(a+2) - (a-2)(a+2) + (a-3)(a+2) - (a-4)(a+2);$

2) $(3a-2)(5b^2 - 4b + 10) + (2-3a)(5b^2 - 6b + 10);$

3) $(4a-7b)(2a^2 - 4ab + b^2) - (4a-7b)(2a^2 - 4ab - b^2).$

1) В выражении $(a-1)(a+2) - (a-2)(a+2) + (a-3)(a+2) - (a-4)(a+2)$ общий множитель для всех членов — это $(a+2)$. Вынесем его за скобки.

$(a+2) \cdot ((a-1) - (a-2) + (a-3) - (a-4))$

Теперь упростим выражение во второй скобке, раскрыв внутренние скобки. Важно обратить внимание на знаки при раскрытии скобок, перед которыми стоит минус.

$(a+2) \cdot (a-1-a+2+a-3-a+4)$

Приведем подобные слагаемые в скобках:

$(a-a+a-a) + (-1+2-3+4) = 0 \cdot a + 2 = 2$

Теперь умножим общий множитель на полученный результат:

$(a+2) \cdot 2 = 2a + 4$

Ответ: $2a + 4$.

2) В выражении $(3a-2)(5b^2-4b+10) + (2-3a)(5b^2-6b+10)$ на первый взгляд нет общего множителя. Однако заметим, что $(2-3a) = -(3a-2)$. Используем это, чтобы преобразовать второй член выражения.

$(3a-2)(5b^2-4b+10) + (-(3a-2))(5b^2-6b+10) = (3a-2)(5b^2-4b+10) - (3a-2)(5b^2-6b+10)$

Теперь у нас есть общий множитель $(3a-2)$. Вынесем его за скобки:

$(3a-2) \cdot ((5b^2-4b+10) - (5b^2-6b+10))$

Упростим выражение во второй скобке:

$(3a-2) \cdot (5b^2-4b+10 - 5b^2+6b-10)$

Приведем подобные слагаемые:

$(5b^2-5b^2) + (-4b+6b) + (10-10) = 0 + 2b + 0 = 2b$

Умножим общий множитель на полученный результат:

$(3a-2) \cdot 2b = 6ab - 4b$

Ответ: $6ab - 4b$.

3) В выражении $(4a-7b)(2a^2-4ab+b^2) - (4a-7b)(2a^2-4ab-b^2)$ общий множитель $(4a-7b)$ очевиден. Вынесем его за скобки.

$(4a-7b) \cdot ((2a^2-4ab+b^2) - (2a^2-4ab-b^2))$

Раскроем внутренние скобки и упростим выражение, помня о смене знаков:

$(4a-7b) \cdot (2a^2-4ab+b^2 - 2a^2+4ab+b^2)$

Приведем подобные слагаемые:

$(2a^2-2a^2) + (-4ab+4ab) + (b^2+b^2) = 0 + 0 + 2b^2 = 2b^2$

Умножим общий множитель на полученный результат:

$(4a-7b) \cdot 2b^2 = 8ab^2 - 14b^3$

Ответ: $8ab^2 - 14b^3$.

570. Упростите выражение, используя вынесение общего множителя за скобки:

1) $ab(a^2 + ab + b^2) - ab(a^2 - ab + b^2)$;

2) $(a+b)(a+1)-(a+b)(1-b)+(b+a)(b-a)$.

1) Чтобы упростить выражение $ab(a^2 + ab + b^2) - ab(a^2 - ab + b^2)$, найдем общий множитель. В данном случае это $ab$. Вынесем его за скобки:

$ab \cdot ((a^2 + ab + b^2) - (a^2 - ab + b^2))$

Теперь раскроем скобки внутри и приведем подобные слагаемые:

$ab \cdot (a^2 + ab + b^2 - a^2 + ab - b^2)$

Сгруппируем подобные члены:

$ab \cdot ((a^2 - a^2) + (ab + ab) + (b^2 - b^2))$

Выполним вычисления в скобках:

$ab \cdot (0 + 2ab + 0) = ab \cdot (2ab)$

Перемножим оставшиеся члены:

$2a^2b^2$

Ответ: $2a^2b^2$

2) Рассмотрим выражение $(a + b)(a + 1) - (a + b)(1 - b) + (b + a)(b - a)$.

Заметим, что $(b+a)$ равно $(a+b)$. Таким образом, общий множитель для всех трех слагаемых — это $(a+b)$. Вынесем его за скобки:

$(a + b) \cdot ((a + 1) - (1 - b) + (b - a))$

Теперь упростим выражение во второй скобке, раскрыв внутренние скобки:

$(a + b) \cdot (a + 1 - 1 + b + b - a)$

Приведем подобные слагаемые внутри скобки:

$(a + b) \cdot ((a - a) + (1 - 1) + (b + b))$

Выполним вычисления:

$(a + b) \cdot (0 + 0 + 2b) = (a + b) \cdot 2b$

Раскроем скобки, умножив $2b$ на каждый член в скобке $(a+b)$:

$2b \cdot a + 2b \cdot b = 2ab + 2b^2$

Ответ: $2ab + 2b^2$

571. Решите уравнение $4x^2 - 1,2x = a$, если один из его корней равен 0,3.

По условию задачи дано уравнение $4x^2 - 1.2x = a$. Также известно, что один из его корней равен $0.3$. Чтобы решить уравнение, необходимо найти все его корни.

Шаг 1: Нахождение параметра a

Поскольку $x = 0.3$ является корнем, то при подстановке этого значения в уравнение мы получим верное равенство. Используем это, чтобы найти значение параметра a:

$4 \cdot (0.3)^2 - 1.2 \cdot (0.3) = a$

Выполним вычисления:

$4 \cdot 0.09 - 0.36 = a$

$0.36 - 0.36 = a$

$a = 0$

Шаг 2: Решение уравнения

Теперь, когда мы определили значение $a = 0$, мы можем подставить его в исходное уравнение и найти все его корни:

$4x^2 - 1.2x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель x за скобки:

$x(4x - 1.2) = 0$

Произведение равно нулю в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда следует два возможных решения:

1) $x_1 = 0$

2) $4x - 1.2 = 0$

Решим второе уравнение:

$4x = 1.2$

$x = \frac{1.2}{4}$

$x_2 = 0.3$

Мы нашли оба корня уравнения. Один из них, $x_2 = 0.3$, был дан в условии, а второй корень — $x_1 = 0$.

Ответ: $0; 0.3$

572. Решите уравнение $5x^2 + 8x = a$, если один из его корней равен -1,6.

Дано уравнение $5x^2 + 8x = a$. По условию, один из его корней равен $-1,6$.

Поскольку $x = -1,6$ является корнем уравнения, то при подстановке этого значения в уравнение мы получим верное равенство. Это позволяет нам найти неизвестный параметр $a$.

Подставим $x = -1,6$ в левую часть уравнения:

$5 \cdot (-1,6)^2 + 8 \cdot (-1,6) = 5 \cdot 2,56 - 12,8 = 12,8 - 12,8 = 0$

Таким образом, мы получаем, что $a = 0$.

Теперь, когда мы знаем значение $a$, мы можем решить исходное уравнение, подставив в него найденное значение:

$5x^2 + 8x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(5x + 8) = 0$

Произведение равно нулю в том и только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда следует, что:

$x = 0$ или $5x + 8 = 0$

Первый корень уравнения: $x_1 = 0$.

Решим второе уравнение, чтобы найти второй корень:

$5x = -8$

$x_2 = -\frac{8}{5} = -1,6$

Мы нашли оба корня уравнения: один из них $x_2 = -1,6$, что соответствует условию задачи, а второй корень $x_1 = 0$.

Ответ: $0$; $-1,6$.

573. Вынесите за скобки общий множитель ($n$ – натуральное число):

1) $a^{n+1} + a^n;$

2) $b^n - b^{n-3}, n > 3;$

3) $c^{n+2} + c^{n-4}, n > 4;$

4) $d^{2n} - d^n;$

5) $2^{n+3} + 3 \cdot 2^{n+2} - 5 \cdot 2^{n+1};$

6) $9^{n+1} + 3^{n+2}.$

1) В выражении $a^{n+1} + a^n$ общим множителем является степень с наименьшим показателем. Сравним показатели $n+1$ и $n$. Так как $n$ - натуральное число, $n+1 > n$. Следовательно, наименьший показатель равен $n$. Выносим за скобки $a^n$. Для этого представим каждое слагаемое в виде произведения, содержащего $a^n$:
$a^{n+1} = a^n \cdot a^1 = a^n \cdot a$
$a^n = a^n \cdot 1$
Получаем: $a^{n+1} + a^n = a^n \cdot a + a^n \cdot 1 = a^n(a+1)$.
Ответ: $a^n(a+1)$.

2) В выражении $b^n - b^{n-3}$ (где $n > 3$) сравним показатели $n$ и $n-3$. Так как $n > n-3$, наименьший показатель равен $n-3$. Выносим за скобки общий множитель $b^{n-3}$. Представим $b^n$ через $b^{n-3}$:
$b^n = b^{(n-3)+3} = b^{n-3} \cdot b^3$
Тогда выражение примет вид: $b^{n-3} \cdot b^3 - b^{n-3} \cdot 1$.
Выносим $b^{n-3}$ за скобки: $b^{n-3}(b^3 - 1)$.
Ответ: $b^{n-3}(b^3 - 1)$.

3) В выражении $c^{n+2} + c^{n-4}$ (где $n > 4$) сравним показатели $n+2$ и $n-4$. Так как $n+2 > n-4$, наименьший показатель равен $n-4$. Выносим за скобки $c^{n-4}$. Представим $c^{n+2}$ через $c^{n-4}$:
$c^{n+2} = c^{(n-4)+6} = c^{n-4} \cdot c^6$
Тогда выражение примет вид: $c^{n-4} \cdot c^6 + c^{n-4} \cdot 1$.
Выносим $c^{n-4}$ за скобки: $c^{n-4}(c^6 + 1)$.
Ответ: $c^{n-4}(c^6 + 1)$.

4) В выражении $d^{2n} - d^n$ сравним показатели $2n$ и $n$. Так как $n$ - натуральное число, $2n > n$. Наименьший показатель равен $n$. Выносим за скобки $d^n$. Представим $d^{2n}$ через $d^n$:
$d^{2n} = d^{n+n} = d^n \cdot d^n$
Тогда выражение примет вид: $d^n \cdot d^n - d^n \cdot 1$.
Выносим $d^n$ за скобки: $d^n(d^n - 1)$.
Ответ: $d^n(d^n - 1)$.

5) В выражении $2^{n+3} + 3 \cdot 2^{n+2} - 5 \cdot 2^{n+1}$ общим множителем является степень двойки с наименьшим показателем. Сравним показатели $n+3$, $n+2$ и $n+1$. Наименьший из них $n+1$. Выносим за скобки $2^{n+1}$. Для этого представим каждое слагаемое в виде произведения, содержащего $2^{n+1}$:
$2^{n+3} = 2^{(n+1)+2} = 2^{n+1} \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^{n+1}$
$3 \cdot 2^{n+2} = 3 \cdot 2^{(n+1)+1} = 3 \cdot 2^{n+1} \cdot 2^1 = 6 \cdot 2^{n+1}$
$5 \cdot 2^{n+1}$
Подставим в исходное выражение: $4 \cdot 2^{n+1} + 6 \cdot 2^{n+1} - 5 \cdot 2^{n+1}$.
Вынесем $2^{n+1}$ за скобки и вычислим значение в скобках: $2^{n+1}(4+6-5) = 2^{n+1}(5) = 5 \cdot 2^{n+1}$.
Ответ: $5 \cdot 2^{n+1}$.

6) В выражении $9^{n+1} + 3^{n+2}$ приведем степени к одному основанию. Так как $9 = 3^2$, то:
$9^{n+1} = (3^2)^{n+1} = 3^{2(n+1)} = 3^{2n+2}$
Выражение принимает вид: $3^{2n+2} + 3^{n+2}$.
Теперь вынесем за скобки общий множитель. Сравним показатели $2n+2$ и $n+2$. Так как $n$ - натуральное число, $2n+2 > n+2$. Наименьший показатель равен $n+2$. Выносим за скобки $3^{n+2}$.
Представим $3^{2n+2}$ через $3^{n+2}$: $3^{2n+2} = 3^{(n+2)+n} = 3^{n+2} \cdot 3^n$.
Получаем: $3^{n+2} \cdot 3^n + 3^{n+2} \cdot 1$.
Выносим $3^{n+2}$ за скобки: $3^{n+2}(3^n+1)$.
Ответ: $3^{n+2}(3^n+1)$.

574. Разложите на множители ($n$ – натуральное число):

1) $a^{n+2} - a^n;$

2) $3b^{n+2} - 2b^{n+1} + b^n;$

3) $32^n + 16^{2n+1}._

1) $a^{n+2} - a^n$

Для разложения на множители данного выражения воспользуемся свойствами степеней.
Представим член $a^{n+2}$ в виде произведения, используя свойство $x^{m+k} = x^m \cdot x^k$:
$a^{n+2} = a^n \cdot a^2$.
Теперь исходное выражение можно переписать так:
$a^n \cdot a^2 - a^n$.
Вынесем общий множитель $a^n$ за скобки:
$a^n(a^2 - 1)$.
Выражение в скобках, $a^2 - 1$, является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$a^2 - 1 = a^2 - 1^2 = (a-1)(a+1)$.
Таким образом, окончательное разложение на множители имеет вид:
$a^n(a-1)(a+1)$.
Ответ: $a^n(a-1)(a+1)$.

2) $3b^{n+2} - 2b^{n+1} + b^n$

Используем свойство степеней $x^{m+k} = x^m \cdot x^k$ для преобразования первых двух членов выражения:
$b^{n+2} = b^n \cdot b^2$
$b^{n+1} = b^n \cdot b^1 = b^n \cdot b$
Подставим эти представления в исходное выражение:
$3(b^n \cdot b^2) - 2(b^n \cdot b) + b^n = 3b^nb^2 - 2b^nb + b^n$.
Теперь можно вынести за скобки общий множитель $b^n$:
$b^n(3b^2 - 2b + 1)$.
Далее проверим, можно ли разложить на множители квадратный трехчлен $3b^2 - 2b + 1$. Для этого найдем его дискриминант $D = B^2 - 4AC$ для уравнения $3b^2 - 2b + 1 = 0$, где $A=3$, $B=-2$, $C=1$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратный трехчлен не имеет действительных корней и не может быть разложен на линейные множители с действительными коэффициентами.
Следовательно, выражение уже полностью разложено на множители.
Ответ: $b^n(3b^2 - 2b + 1)$.

3) $32^n + 16^{2n+1}$

Для разложения на множители приведем основания степеней к одному числу. Заметим, что $32$ и $16$ являются степенями числа $2$:
$32 = 2^5$
$16 = 2^4$
Подставим эти значения в исходное выражение:
$(2^5)^n + (2^4)^{2n+1}$.
Применим свойство возведения степени в степень $(x^m)^k = x^{m \cdot k}$:
$2^{5n} + 2^{4(2n+1)} = 2^{5n} + 2^{8n+4}$.
Поскольку $n$ — натуральное число, то $5n < 8n+4$. Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $2^{5n}$:
$2^{5n}(1 + \frac{2^{8n+4}}{2^{5n}})$.
Используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^k} = x^{m-k}$, упростим выражение в скобках:
$1 + 2^{(8n+4) - 5n} = 1 + 2^{3n+4}$.
В результате получаем следующее разложение на множители:
$2^{5n}(1 + 2^{3n+4})$.
Ответ: $2^{5n}(1 + 2^{3n+4})$.

575. Известно, что значение выражения $y^2 - 4y + 2$ равно 6. Найдите значение выражения:

1) $5y^2 - 20y + 10$;

2) $y^2(y^2 - 4y + 2) - 4y(y^2 - 4y + 2)$;

3) $3y^2 - 12y + 8$.

По условию задачи нам дано, что значение выражения $y^2 - 4y + 2$ равно 6. Запишем это в виде равенства:

$y^2 - 4y + 2 = 6$

Это равенство мы будем использовать для нахождения значений выражений в каждом подпункте.

1) $5y^2 - 20y + 10$

В данном выражении вынесем общий множитель 5 за скобки. Это позволит нам выделить исходное выражение, значение которого известно.

$5y^2 - 20y + 10 = 5(y^2 - 4y + 2)$

Так как по условию $y^2 - 4y + 2 = 6$, подставим это значение в полученное выражение:

$5 \cdot (y^2 - 4y + 2) = 5 \cdot 6 = 30$

Ответ: 30

2) $y^2(y^2 - 4y + 2) - 4y(y^2 - 4y + 2)$

В этом выражении есть общий множитель $(y^2 - 4y + 2)$. Вынесем его за скобки:

$(y^2 - 4y)(y^2 - 4y + 2)$

Значение второго множителя нам известно из условия: $y^2 - 4y + 2 = 6$.

Чтобы найти значение первого множителя $(y^2 - 4y)$, преобразуем исходное равенство, перенеся 2 в правую часть:

$y^2 - 4y = 6 - 2$

$y^2 - 4y = 4$

Теперь подставим найденные значения обоих множителей в итоговое выражение:

$(y^2 - 4y) \cdot (y^2 - 4y + 2) = 4 \cdot 6 = 24$

Ответ: 24

3) $3y^2 - 12y + 8$

Преобразуем это выражение так, чтобы выделить в нём известную нам часть $y^2 - 4y + 2$. Для этого представим выражение следующим образом:

$3y^2 - 12y + 8 = 3(y^2 - 4y) + 8$

Мы уже выяснили в предыдущем пункте, что $y^2 - 4y = 4$. Подставим это значение:

$3 \cdot (4) + 8 = 12 + 8 = 20$

Также можно было преобразовать выражение по-другому:

$3y^2 - 12y + 8 = 3y^2 - 12y + 6 + 2 = 3(y^2 - 4y + 2) + 2$

Подставляя известное значение $y^2 - 4y + 2 = 6$, получаем тот же результат:

$3 \cdot (6) + 2 = 18 + 2 = 20$

Ответ: 20

576. Известно, что значение выражения $a^2 + 2a - 5$ равно -4. Найдите значение выражения:

1) $-2a^2 - 4a + 10;$

2) $a^2(a^2 + 2a - 5) + 2a(a^2 + 2a - 5);$

3) $4a^2 + 8a - 16.$

По условию задачи нам дано, что значение выражения $a^2 + 2a - 5$ равно $-4$. Запишем это в виде равенства:

$a^2 + 2a - 5 = -4$

Будем использовать это равенство для нахождения значений требуемых выражений, не вычисляя значение переменной $a$.

1) $-2a^2 - 4a + 10$

Для решения преобразуем данное выражение. Заметим, что все коэффициенты делятся на $-2$. Вынесем общий множитель $-2$ за скобки:

$-2a^2 - 4a + 10 = -2(a^2 + 2a - 5)$

Теперь мы можем подставить известное нам из условия значение выражения $a^2 + 2a - 5$, которое равно $-4$:

$-2 \cdot (-4) = 8$

Ответ: 8

2) $a^2(a^2 + 2a - 5) + 2a(a^2 + 2a - 5)$

В этом выражении есть общий множитель $(a^2 + 2a - 5)$. Вынесем его за скобки:

$(a^2 + 2a)(a^2 + 2a - 5)$

Мы знаем, что значение второго множителя $(a^2 + 2a - 5)$ равно $-4$. Чтобы найти значение первого множителя $(a^2 + 2a)$, вернемся к исходному равенству:

$a^2 + 2a - 5 = -4$

Перенесем $-5$ в правую часть уравнения:

$a^2 + 2a = -4 + 5$

$a^2 + 2a = 1$

Теперь подставим значения обоих множителей в наше преобразованное выражение:

$1 \cdot (-4) = -4$

Ответ: -4

3) $4a^2 + 8a - 16$

Вынесем общий множитель $4$ за скобки:

$4a^2 + 8a - 16 = 4(a^2 + 2a - 4)$

Выражение в скобках $a^2 + 2a - 4$ похоже на исходное. Представим его так, чтобы можно было использовать данное в условии значение. Для этого мы можем прибавить и вычесть 1, или, что проще, представить $-4$ как $-5 + 1$:

$a^2 + 2a - 4 = a^2 + 2a - 5 + 1 = (a^2 + 2a - 5) + 1$

Теперь подставим это обратно в наше выражение:

$4 \cdot ((a^2 + 2a - 5) + 1)$

Заменим $(a^2 + 2a - 5)$ на $-4$:

$4 \cdot ((-4) + 1) = 4 \cdot (-3) = -12$

Ответ: -12