Номер 568, страница 98 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 568, страница 98.

Условие.

568. Найдите корни уравнения:

1) $ (3x - 2)(3x + 2) - (2x - 5)(8x - 3) = 4x - 19; $

2) $ \frac{1}{3}(12 + x^3) = \frac{1}{9}x^2 + 4. $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $(3x-2)(3x+2) - (2x-5)(8x-3) = 4x - 19$

Для решения уравнения раскроем скобки в левой части. Первое произведение $(3x-2)(3x+2)$ является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Второе произведение $(2x-5)(8x-3)$ раскроем по правилу умножения многочленов.

$(3x)^2 - 2^2 - (2x \cdot 8x - 2x \cdot 3 - 5 \cdot 8x - 5 \cdot (-3)) = 4x - 19$

$9x^2 - 4 - (16x^2 - 6x - 40x + 15) = 4x - 19$

Приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$9x^2 - 4 - (16x^2 - 46x + 15) = 4x - 19$

Теперь раскроем скобки, изменив знаки на противоположные:

$9x^2 - 4 - 16x^2 + 46x - 15 = 4x - 19$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(9x^2 - 16x^2) + 46x + (-4 - 15) = 4x - 19$

$-7x^2 + 46x - 19 = 4x - 19$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы справа остался ноль:

$-7x^2 + 46x - 19 - 4x + 19 = 0$

Снова приведем подобные слагаемые:

$-7x^2 + (46x - 4x) + (-19 + 19) = 0$

$-7x^2 + 42x = 0$

Получилось неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $-7x$ за скобки:

$-7x(x - 6) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому:

$-7x = 0$ или $x - 6 = 0$

$x_1 = 0$ или $x_2 = 6$

Ответ: $0; 6$

2) $\frac{1}{3}(12+x^3) = \frac{1}{9}x^2 + 4$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{9}$, который равен 9.

$9 \cdot \frac{1}{3}(12+x^3) = 9 \cdot (\frac{1}{9}x^2 + 4)$

$3(12+x^3) = 9 \cdot \frac{1}{9}x^2 + 9 \cdot 4$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$36 + 3x^3 = x^2 + 36$

Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены - в правую:

$3x^3 - x^2 = 36 - 36$

$3x^3 - x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(3x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, имеем два случая:

$x^2 = 0$ или $3x - 1 = 0$

Из первого уравнения получаем $x_1 = 0$.

Из второго уравнения: $3x = 1$, откуда $x_2 = \frac{1}{3}$.

Ответ: $0; \frac{1}{3}$