Номер 563, страница 97 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 563, страница 97.

Условие.

563. Докажите, что значение выражения:

1) $19^5 + 19^4$ кратно 20;

2) $8^{10} - 8^9 - 8^8$ кратно 11;

3) $8^7 + 2^{15}$ кратно 5;

4) $2 \cdot 3^{2006} + 5 \cdot 3^{2005} + 7 \cdot 3^{2004}$ кратно 10;

5) $27^4 - 9^5$ кратно 24;

6) $12^4 - 4^6$ кратно 130.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы доказать, что выражение $19^5 + 19^4$ кратно 20, вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем является $19^4$.

$19^5 + 19^4 = 19^4 \cdot 19 + 19^4 \cdot 1 = 19^4(19 + 1) = 19^4 \cdot 20$.

Так как один из множителей в произведении равен 20, то все выражение делится на 20 без остатка.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Чтобы доказать, что выражение $8^{10} - 8^9 - 8^8$ кратно 11, вынесем за скобки общий множитель с наименьшей степенью, то есть $8^8$.

$8^{10} - 8^9 - 8^8 = 8^8 \cdot 8^2 - 8^8 \cdot 8^1 - 8^8 \cdot 1 = 8^8(8^2 - 8 - 1)$.

Вычислим значение в скобках:

$8^2 - 8 - 1 = 64 - 8 - 1 = 55$.

Выражение принимает вид: $8^8 \cdot 55$.

Поскольку $55 = 5 \cdot 11$, то $8^8 \cdot 55 = 8^8 \cdot 5 \cdot 11$. Это произведение содержит множитель 11, а значит, делится на 11.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3) Чтобы доказать, что выражение $8^7 + 2^{15}$ кратно 5, приведем слагаемые к одному основанию 2. Так как $8 = 2^3$, то $8^7 = (2^3)^7 = 2^{21}$.

Выражение принимает вид: $2^{21} + 2^{15}$.

Вынесем за скобки общий множитель $2^{15}$:

$2^{15}(2^{21-15} + 1) = 2^{15}(2^6 + 1)$.

Вычислим значение в скобках:

$2^6 + 1 = 64 + 1 = 65$.

Выражение принимает вид: $2^{15} \cdot 65$.

Поскольку $65 = 5 \cdot 13$, то $2^{15} \cdot 65 = 2^{15} \cdot 5 \cdot 13$. Это произведение содержит множитель 5, а значит, делится на 5.

Ответ: Что и требовалось доказать.

4) В выражении $2 \cdot 3^{2006} + 5 \cdot 3^{2005} + 7 \cdot 3^{2004}$ вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $3^{2004}$.

$3^{2004}(2 \cdot 3^{2006-2004} + 5 \cdot 3^{2005-2004} + 7 \cdot 3^{2004-2004}) = 3^{2004}(2 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3^1 + 7 \cdot 1)$.

Вычислим значение в скобках:

$2 \cdot 9 + 5 \cdot 3 + 7 = 18 + 15 + 7 = 40$.

Выражение принимает вид: $3^{2004} \cdot 40$.

Поскольку $40 = 4 \cdot 10$, то $3^{2004} \cdot 40 = 3^{2004} \cdot 4 \cdot 10$. Это произведение содержит множитель 10, а значит, делится на 10.

Ответ: Что и требовалось доказать.

5) Чтобы доказать, что выражение $27^4 - 9^5$ кратно 24, приведем его члены к одному основанию 3. Так как $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$, получаем:

$27^4 = (3^3)^4 = 3^{12}$

$9^5 = (3^2)^5 = 3^{10}$

Выражение принимает вид: $3^{12} - 3^{10}$.

Вынесем за скобки общий множитель $3^{10}$:

$3^{10}(3^2 - 1) = 3^{10}(9 - 1) = 3^{10} \cdot 8$.

Нам нужно доказать кратность 24. Представим $24$ как $3 \cdot 8$.

Наше выражение $3^{10} \cdot 8 = 3^9 \cdot 3 \cdot 8 = 3^9 \cdot 24$.

Так как один из множителей равен 24, все произведение делится на 24.

Ответ: Что и требовалось доказать.

6) Чтобы доказать, что выражение $12^4 - 4^6$ кратно 130, преобразуем его.

Представим $12^4$ как $(3 \cdot 4)^4 = 3^4 \cdot 4^4 = 81 \cdot 4^4$.

Выражение принимает вид: $81 \cdot 4^4 - 4^6$.

Вынесем за скобки общий множитель $4^4$:

$4^4(81 - 4^2) = 4^4(81 - 16) = 4^4 \cdot 65$.

Нам нужно доказать кратность 130. Разложим 130 на множители: $130 = 10 \cdot 13 = 2 \cdot 5 \cdot 13$.

Преобразуем полученное выражение $4^4 \cdot 65$:

$4^4 \cdot 65 = (2^2)^4 \cdot (5 \cdot 13) = 2^8 \cdot 5 \cdot 13$.

Выделим множитель 130:

$2^8 \cdot 5 \cdot 13 = 2^7 \cdot (2 \cdot 5 \cdot 13) = 2^7 \cdot 130$.

Так как один из множителей равен 130, все произведение делится на 130.

Ответ: Что и требовалось доказать.