Номер 560, страница 97 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 560, страница 97.

Условие.

560. Решите уравнение, используя разложение на множители:

1) $(2x - 9)(x + 6) - x(x + 6) = 0;$

2) $(3x + 4)(x - 10) + (10 - x)(x - 8) = 0;$

3) $3(3x + 1)^2 - 4(3x + 1) = 0;$

4) $(9x - 12) - x(9x - 12) = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $(2x - 9)(x + 6) - x(x + 6) = 0$
В левой части уравнения есть общий множитель $(x + 6)$, который можно вынести за скобки:
$(x + 6)((2x - 9) - x) = 0$
Упростим выражение во второй скобке:
$(x + 6)(2x - 9 - x) = 0$
$(x + 6)(x - 9) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем каждый множитель к нулю:
$x + 6 = 0$ или $x - 9 = 0$
$x_1 = -6$
$x_2 = 9$
Ответ: -6; 9.

2) $(3x + 4)(x - 10) + (10 - x)(x - 8) = 0$
Заметим, что множитель $(10 - x)$ можно представить как $-(x - 10)$. Подставим это в уравнение:
$(3x + 4)(x - 10) - (x - 10)(x - 8) = 0$
Теперь вынесем общий множитель $(x - 10)$ за скобки:
$(x - 10)((3x + 4) - (x - 8)) = 0$
Раскроем внутренние скобки и упростим выражение:
$(x - 10)(3x + 4 - x + 8) = 0$
$(x - 10)(2x + 12) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
$x - 10 = 0$ или $2x + 12 = 0$
$x_1 = 10$
$2x = -12 \Rightarrow x_2 = -6$
Ответ: -6; 10.

3) $3(3x + 1)^2 - 4(3x + 1) = 0$
Вынесем общий множитель $(3x + 1)$ за скобки:
$(3x + 1)(3(3x + 1) - 4) = 0$
Упростим выражение во второй скобке:
$(3x + 1)(9x + 3 - 4) = 0$
$(3x + 1)(9x - 1) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
$3x + 1 = 0$ или $9x - 1 = 0$
$3x = -1 \Rightarrow x_1 = -\frac{1}{3}$
$9x = 1 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{9}$
Ответ: $-\frac{1}{3}$; $\frac{1}{9}$.

4) $(9x - 12) - x(9x - 12) = 0$
Выражение $(9x - 12)$ является общим множителем. Представим уравнение как $1 \cdot (9x - 12) - x(9x - 12) = 0$ и вынесем общий множитель за скобки:
$(9x - 12)(1 - x) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
$9x - 12 = 0$ или $1 - x = 0$
$9x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{9} \Rightarrow x_1 = \frac{4}{3}$
$x_2 = 1$
Ответ: 1; $\frac{4}{3}$.