Номер 553, страница 96 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 553, страница 96.

Условие.

553. Разложите на множители:

1) $2a^5b^2 - 4a^3b + 6a^2b^3;$

2) $mn^3 + 5m^2n^2 - 7m^2n;$

3) $xy^2 + x^2y - xy;$

4) $9x^3 + 4x^2 - x;$

5) $-6m^4 - 8m^5 - 2m^6;$

6) $42a^4b - 28a^3b^2 - 70a^5b^3.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Разложим на множители выражение $2a^5b^2 - 4a^3b + 6a^2b^3$. Для этого найдем общий множитель для всех членов многочлена, вынеся его за скобки.
Сначала найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 2, -4, 6. НОД для чисел 2, 4 и 6 равен 2.
Затем найдем общие переменные в наименьшей степени. Переменная $a$ присутствует во всех членах со степенями 5, 3 и 2. Наименьшая степень - 2, значит, общий множитель содержит $a^2$.
Переменная $b$ присутствует во всех членах со степенями 2, 1 и 3. Наименьшая степень - 1, значит, общий множитель содержит $b$.
Таким образом, общий множитель, который можно вынести за скобки, это $2a^2b$.
Разделим каждый член исходного многочлена на $2a^2b$:
$2a^5b^2 - 4a^3b + 6a^2b^3 = 2a^2b \cdot (\frac{2a^5b^2}{2a^2b} - \frac{4a^3b}{2a^2b} + \frac{6a^2b^3}{2a^2b}) = 2a^2b(a^3b - 2a + 3b^2)$.
Ответ: $2a^2b(a^3b - 2a + 3b^2)$.

2) Разложим на множители выражение $mn^3 + 5m^2n^2 - 7m^2n$.
НОД для коэффициентов 1, 5, -7 равен 1.
Переменная $m$ входит в члены со степенями 1, 2, 2. Наименьшая степень равна 1, поэтому общий множитель — $m$.
Переменная $n$ входит в члены со степенями 3, 2, 1. Наименьшая степень равна 1, поэтому общий множитель — $n$.
Общий множитель для вынесения за скобки — $mn$.
Выполним деление каждого члена на $mn$:
$mn^3 + 5m^2n^2 - 7m^2n = mn \cdot (\frac{mn^3}{mn} + \frac{5m^2n^2}{mn} - \frac{7m^2n}{mn}) = mn(n^2 + 5mn - 7m)$.
Ответ: $mn(n^2 + 5mn - 7m)$.

3) Разложим на множители выражение $xy^2 + x^2y - xy$.
Общий множитель для переменных $x$ и $y$ находится по наименьшей степени их вхождения. Для $x$ это $x^1=x$, для $y$ это $y^1=y$.
Общий множитель — $xy$.
Вынесем $xy$ за скобки:
$xy^2 + x^2y - xy = xy \cdot (\frac{xy^2}{xy} + \frac{x^2y}{xy} - \frac{xy}{xy}) = xy(y + x - 1)$.
Ответ: $xy(x + y - 1)$.

4) Разложим на множители выражение $9x^3 + 4x^2 - x$.
НОД для коэффициентов 9, 4, -1 равен 1.
Переменная $x$ входит в члены со степенями 3, 2, 1. Наименьшая степень равна 1, поэтому общий множитель — $x$.
Вынесем $x$ за скобки:
$9x^3 + 4x^2 - x = x \cdot (\frac{9x^3}{x} + \frac{4x^2}{x} - \frac{x}{x}) = x(9x^2 + 4x - 1)$.
Ответ: $x(9x^2 + 4x - 1)$.

5) Разложим на множители выражение $-6m^4 - 8m^5 - 2m^6$.
НОД для коэффициентов -6, -8, -2 равен -2 (удобно выносить знак минус, если все члены отрицательны).
Переменная $m$ входит в члены со степенями 4, 5, 6. Наименьшая степень равна 4, поэтому общий множитель — $m^4$.
Общий множитель для вынесения за скобки — $-2m^4$.
Вынесем его за скобки: $-6m^4 - 8m^5 - 2m^6 = -2m^4(\frac{-6m^4}{-2m^4} + \frac{-8m^5}{-2m^4} + \frac{-2m^6}{-2m^4}) = -2m^4(3 + 4m + m^2)$.
Выражение в скобках $m^2 + 4m + 3$ является квадратным трехчленом. Его можно разложить на множители, найдя корни уравнения $m^2 + 4m + 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -4, а произведение 3. Корни равны -1 и -3. Тогда $m^2 + 4m + 3 = (m - (-1))(m - (-3)) = (m+1)(m+3)$.
Окончательный результат:
$-2m^4(m+1)(m+3)$.
Ответ: $-2m^4(m+1)(m+3)$.

6) Разложим на множители выражение $42a^4b - 28a^3b^2 - 70a^5b^3$.
Найдем НОД для коэффициентов 42, -28, -70. НОД(42, 28, 70) = 14.
Переменная $a$ входит в члены со степенями 4, 3, 5. Наименьшая степень равна 3, общий множитель — $a^3$.
Переменная $b$ входит в члены со степенями 1, 2, 3. Наименьшая степень равна 1, общий множитель — $b$.
Общий множитель для вынесения за скобки — $14a^3b$.
Вынесем его за скобки:
$42a^4b - 28a^3b^2 - 70a^5b^3 = 14a^3b(\frac{42a^4b}{14a^3b} - \frac{28a^3b^2}{14a^3b} - \frac{70a^5b^3}{14a^3b}) = 14a^3b(3a - 2b - 5a^2b^2)$.
Ответ: $14a^3b(3a - 2b - 5a^2b^2)$.