Номер 557, страница 96 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 557, страница 96.

Условие.

557. Разложите на множители:

1) $(m - 9)^2 - 3(m - 9);$

2) $a(a + 5)^2 + (a + 5);$

3) $(m^2 - 3) - n(m^2 - 3)^2;$

4) $8c(p - 12) + 7d(p - 12)^2;$

5) $a(2a + b)(a + b) - 4a(a + b)^2;$

6) $3m^2(m - 8) + 6m(m - 8)^2;$

7) $(2a + 3)(a + 5) + (a - 1)(a + 5);$

8) $(3x + 7)(4y - 1) - (4y - 1)(2x + 10).$

Решение 1.

Решение 5.

1) В данном выражении $(m - 9)^2 - 3(m - 9)$ мы видим общий множитель $(m - 9)$. Вынесем его за скобки:
$(m - 9)^2 - 3(m - 9) = (m - 9) \cdot (m - 9) - 3 \cdot (m - 9) = (m - 9) ((m - 9) - 3)$
Теперь упростим выражение во второй скобке:
$(m - 9) - 3 = m - 9 - 3 = m - 12$
В итоге получаем произведение двух множителей.
Ответ: $(m - 9)(m - 12)$

2) В выражении $a(a + 5)^2 + (a + 5)$ общим множителем является $(a + 5)$. Вынесем его за скобки, помня, что второе слагаемое равно $1 \cdot (a + 5)$:
$a(a + 5)^2 + (a + 5) = (a + 5) (a(a + 5) + 1)$
Раскроем скобки внутри второго множителя и приведем подобные слагаемые:
$a(a + 5) + 1 = a^2 + 5a + 1$
Квадратный трехчлен $a^2 + 5a + 1$ не раскладывается на линейные множители с целыми коэффициентами, так как его дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 21$ не является полным квадратом.
Ответ: $(a + 5)(a^2 + 5a + 1)$

3) В выражении $(m^2 - 3) - n(m^2 - 3)^2$ общим множителем является $(m^2 - 3)$. Вынесем его за скобки:
$(m^2 - 3) - n(m^2 - 3)^2 = (m^2 - 3) (1 - n(m^2 - 3))$
Упростим выражение во второй скобке:
$1 - n(m^2 - 3) = 1 - nm^2 + 3n$
Ответ: $(m^2 - 3)(1 - nm^2 + 3n)$

4) В выражении $8c(p - 12) + 7d(p - 12)^2$ общим множителем является $(p - 12)$. Вынесем его за скобки:
$8c(p - 12) + 7d(p - 12)^2 = (p - 12) (8c + 7d(p - 12))$
Раскроем внутренние скобки во втором множителе:
$8c + 7d(p - 12) = 8c + 7dp - 84d$
Ответ: $(p - 12)(8c + 7dp - 84d)$

5) В выражении $a(2a + b)(a + b) - 4a(a + b)^2$ есть два общих множителя: $a$ и $(a + b)$. Вынесем $a(a+b)$ за скобки:
$a(a + b) ((2a + b) - 4(a + b))$
Упростим выражение во второй скобке:
$(2a + b) - 4(a + b) = 2a + b - 4a - 4b = -2a - 3b = -(2a + 3b)$
Подставим упрощенное выражение обратно:
$a(a + b) (-(2a + 3b))$
Ответ: $-a(a + b)(2a + 3b)$

6) В выражении $3m^2(m - 8) + 6m(m - 8)^2$ общими множителями являются $3, m$ и $(m - 8)$. Наибольший общий множитель - это $3m(m - 8)$. Вынесем его за скобки:
$3m(m - 8) (m + 2(m - 8))$
Упростим выражение во второй скобке:
$m + 2(m - 8) = m + 2m - 16 = 3m - 16$
Ответ: $3m(m - 8)(3m - 16)$

7) В выражении $(2a + 3)(a + 5) + (a - 1)(a + 5)$ общим множителем является $(a + 5)$. Вынесем его за скобки:
$(a + 5) ((2a + 3) + (a - 1))$
Упростим выражение во второй скобке, приведя подобные слагаемые:
$(2a + 3) + (a - 1) = 2a + 3 + a - 1 = 3a + 2$
Ответ: $(a + 5)(3a + 2)$

8) В выражении $(3x + 7)(4y - 1) - (4y - 1)(2x + 10)$ общим множителем является $(4y - 1)$. Вынесем его за скобки:
$(4y - 1) ((3x + 7) - (2x + 10))$
Упростим выражение во второй скобке, раскрыв внутренние скобки и приведя подобные слагаемые:
$(3x + 7) - (2x + 10) = 3x + 7 - 2x - 10 = x - 3$
Ответ: $(4y - 1)(x - 3)$